द्विपद विस्तार पद कैलकुलेटर क्या है?
यह कैलकुलेटर \((a + b)^n\) के द्विपद विस्तार में पूरा व्यंजक खोले बिना किसी एक विशिष्ट पद को ज्ञात करता है। चाहे आपको 5वां पद चाहिए, अचर पद चाहिए, या किसी खास घात का गुणांक — व्यापक पद का सूत्र इसे सीधे दे देता है। यह एक सार्वभौमिक गणितीय उपकरण है — यह हर जगह समान रूप से लागू होता है और इसमें किसी देश-विशेष के नियम नहीं हैं।
इसका उपयोग कैसे करें
पहला आधार मान a, दूसरा आधार मान b, घातांक n, और पद की स्थिति k (पहले पद के लिए 1, दूसरे के लिए 2, और इसी तरह आगे) दर्ज करें। कैलकुलेटर द्विपद गुणांक \(C(n, r)\), पद का मान, और संबंधित घातांक लौटाता है। ध्यान दें कि kवें पद के लिए \(r = k - 1\) होता है।
सूत्र की व्याख्या
\((a + b)^n\) के विस्तार में व्यापक पद इस प्रकार होता है:
$$T_{r+1} = \binom{n}{r}\, a^{\,n-r}\, b^{\,r}$$यहाँ \(C(n, r) = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\) द्विपद गुणांक है। kवां पद \(r = k - 1\) के अनुरूप होता है, इसलिए पहले पद में \(r = 0\) और अंतिम पद में \(r = n\) होता है। घातांकों का योग हमेशा \(n\) रहता है: \((n - r) + r = n\)।
हल किया हुआ उदाहरण
\((2 + 3)^4\) का तीसरा पद ज्ञात कीजिए। यहाँ \(a = 2\), \(b = 3\), \(n = 4\), \(k = 3\), अतः \(r = 2\)। गुणांक \(C(4, 2) = 6\) है। पद का मान $$6 \cdot 2^{\,4-2} \cdot 3^2 = 6 \cdot 4 \cdot 9 = 216$$ है।
पास्कल का त्रिकोण / द्विपद गुणांक तालिका
नीचे दी गई प्रविष्टियाँ द्विपद गुणांक \(\binom{n}{r}\) हैं। विस्तार के \(k\)वें पद को खोजने के लिए, पंक्ति \(n\) के साथ पढ़ें और स्तंभ \(r=k-1\) में मान लें (स्तंभों को 0 से शुरू करके क्रमांकित किया जाता है)। उदाहरण के लिए, \((a+b)^6\) के विस्तार के 4वें पद में \(r=3\) का उपयोग होता है, जो \(\binom{6}{3}=20\) देता है।
| n | r=0 | r=1 | r=2 | r=3 | r=4 | r=5 | r=6 | r=7 | r=8 | r=9 | r=10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
प्रत्येक प्रविष्टि इसके ऊपर की दोनों प्रविष्टियों के योग के बराबर है, और प्रत्येक पंक्ति सममित है: \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)।
परिभाषाएँ और शब्दावली
- \(a\) — प्रथम पद (आधार)
- द्विपद \((a+b)^n\) के अंदर का अग्रणी व्यंजक। प्रत्येक पद में इसे घात \(n-r\) तक उठाया जाता है।
- \(b\) — द्वितीय पद (आधार)
- द्विपद के अंदर का अनुगामी व्यंजक। प्रत्येक पद में इसे घात \(r\) तक उठाया जाता है। यह ऋणात्मक या व्युत्क्रम हो सकता है (उदा. \(1/x\)); इसका चिन्ह और रूप पद मान तक पहुँचते हैं।
- \(n\) — घातांक (डिग्री)
- वह घात जिसतक द्विपद को उठाया जाता है। पूर्ण विस्तार में \(n+1\) पद होते हैं, और प्रत्येक पद में \(a\) और \(b\) पर घातें हमेशा \(n\) तक जोड़ी जाती हैं।
- \(k\) — पद संख्या
- वह पद की स्थिति जो आप चाहते हैं, 1 से गिने जाते हुए (प्रथम पद, \(a^n\), \(k=1\) है)। मान्य मान \(1\) से \(n+1\) तक चलते हैं।
- \(r\) — गुणांक सूचकांक
- द्विपद गुणांक और घातों में उपयोग किया जाने वाला शून्य-आधारित सूचकांक, जिसे \(r=k-1\) द्वारा परिभाषित किया गया है। यह \(b\) पर घात भी है।
- \(T_{r+1}\) — व्यापक पद
- विस्तार के \((r+1)\)वें पद का सूत्र: \(T_{r+1}=\binom{n}{r}\,a^{\,n-r}\,b^{\,r}\)। \(r=k-1\) रखने से \(k\)वाँ पद मिलता है।
- \(\binom{n}{r}\) — द्विपद गुणांक
- "\(n\) चुनें \(r\)" के रूप में पढ़ें, यह \(n\) से \(r\) आइटम चुनने के तरीकों की संख्या है और इसकी गणना \(\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\) के रूप में की जाती है। यह पद का संख्यात्मक गुणांक (\(a\) या \(b\) से किसी भी चिन्ह से पहले) है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
k का क्या अर्थ है? k पद की संख्या है जिसे 1 से गिना जाता है। kवें पद में सूत्र के अंदर \(r = k - 1\) लिया जाता है।
अचर पद कैसे ज्ञात करूँ? \((x + 1/x)^n\) जैसे व्यंजकों के लिए, x की कुल घात को शून्य रखकर r हल करें, फिर वही r यहाँ उपयोग करें (\(k = r + 1\))।
क्या a और b ऋणात्मक या भिन्नात्मक हो सकते हैं? हाँ — कैलकुलेटर \(a^{\,n-r}\cdot b^{\,r}\) का संख्यात्मक मूल्यांकन करता है, इसलिए ऋणात्मक संख्याएँ और दशमलव दोनों काम करते हैं।
