द्विपद विस्तार पद कैलकुलेटर क्या है?

यह कैलकुलेटर $(a + b)^n$ के द्विपद विस्तार में पूरा व्यंजक खोले बिना किसी एक विशिष्ट पद को ज्ञात करता है। चाहे आपको 5वां पद चाहिए, अचर पद चाहिए, या किसी खास घात का गुणांक — व्यापक पद का सूत्र इसे सीधे दे देता है। यह एक सार्वभौमिक गणितीय उपकरण है — यह हर जगह समान रूप से लागू होता है और इसमें किसी देश-विशेष के नियम नहीं हैं।

इसका उपयोग कैसे करें

पहला आधार मान a, दूसरा आधार मान b, घातांक n, और पद की स्थिति k (पहले पद के लिए 1, दूसरे के लिए 2, और इसी तरह आगे) दर्ज करें। कैलकुलेटर द्विपद गुणांक $C(n, r)$, पद का मान, और संबंधित घातांक लौटाता है। ध्यान दें कि kवें पद के लिए $r = k - 1$ होता है।

सूत्र की व्याख्या

$(a + b)^n$ के विस्तार में व्यापक पद इस प्रकार होता है:

$$T_{r+1} = \binom{n}{r}\, a^{\,n-r}\, b^{\,r}$$

यहाँ $C(n, r) = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$ द्विपद गुणांक है। kवां पद $r = k - 1$ के अनुरूप होता है, इसलिए पहले पद में $r = 0$ और अंतिम पद में $r = n$ होता है। घातांकों का योग हमेशा $n$ रहता है: $(n - r) + r = n$।

द्विपद पद सूत्र के भागों को लेबल करता आरेख — T(r+1)=C(n,r)·a^(n−r)·b^r का हर भाग रंग-कोडित लेबल से दर्शाया गया।

हल किया हुआ उदाहरण

$(2 + 3)^4$ का तीसरा पद ज्ञात कीजिए। यहाँ $a = 2$, $b = 3$, $n = 4$, $k = 3$, अतः $r = 2$। गुणांक $C(4, 2) = 6$ है। पद का मान $$6 \cdot 2^{\,4-2} \cdot 3^2 = 6 \cdot 4 \cdot 9 = 216$$ है।

एक गुणांक पंक्ति को उभारता पास्कल त्रिकोण — द्विपद गुणांक पास्कल त्रिकोण बनाते हैं; kवाँ पद पंक्ति n से एक प्रविष्टि लेता है।

पास्कल का त्रिकोण / द्विपद गुणांक तालिका

नीचे दी गई प्रविष्टियाँ द्विपद गुणांक $\binom{n}{r}$ हैं। विस्तार के $k$वें पद को खोजने के लिए, पंक्ति $n$ के साथ पढ़ें और स्तंभ $r=k-1$ में मान लें (स्तंभों को 0 से शुरू करके क्रमांकित किया जाता है)। उदाहरण के लिए, $(a+b)^6$ के विस्तार के 4वें पद में $r=3$ का उपयोग होता है, जो $\binom{6}{3}=20$ देता है।

n	r=0	r=1	r=2	r=3	r=4	r=5	r=6	r=7	r=8	r=9	r=10
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1
9	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1
10	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1

प्रत्येक प्रविष्टि इसके ऊपर की दोनों प्रविष्टियों के योग के बराबर है, और प्रत्येक पंक्ति सममित है: $\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}$।

परिभाषाएँ और शब्दावली

$a$ — प्रथम पद (आधार): द्विपद $(a+b)^n$ के अंदर का अग्रणी व्यंजक। प्रत्येक पद में इसे घात $n-r$ तक उठाया जाता है।
$b$ — द्वितीय पद (आधार): द्विपद के अंदर का अनुगामी व्यंजक। प्रत्येक पद में इसे घात $r$ तक उठाया जाता है। यह ऋणात्मक या व्युत्क्रम हो सकता है (उदा. $1/x$); इसका चिन्ह और रूप पद मान तक पहुँचते हैं।
$n$ — घातांक (डिग्री): वह घात जिसतक द्विपद को उठाया जाता है। पूर्ण विस्तार में $n+1$ पद होते हैं, और प्रत्येक पद में $a$ और $b$ पर घातें हमेशा $n$ तक जोड़ी जाती हैं।
$k$ — पद संख्या: वह पद की स्थिति जो आप चाहते हैं, 1 से गिने जाते हुए (प्रथम पद, $a^n$, $k=1$ है)। मान्य मान $1$ से $n+1$ तक चलते हैं।
$r$ — गुणांक सूचकांक: द्विपद गुणांक और घातों में उपयोग किया जाने वाला शून्य-आधारित सूचकांक, जिसे $r=k-1$ द्वारा परिभाषित किया गया है। यह $b$ पर घात भी है।
$T_{r+1}$ — व्यापक पद: विस्तार के $(r+1)$वें पद का सूत्र: $T_{r+1}=\binom{n}{r}\,a^{\,n-r}\,b^{\,r}$। $r=k-1$ रखने से $k$वाँ पद मिलता है।
$\binom{n}{r}$ — द्विपद गुणांक: "$n$ चुनें $r$" के रूप में पढ़ें, यह $n$ से $r$ आइटम चुनने के तरीकों की संख्या है और इसकी गणना $\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$ के रूप में की जाती है। यह पद का संख्यात्मक गुणांक ($a$ या $b$ से किसी भी चिन्ह से पहले) है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

k का क्या अर्थ है? k पद की संख्या है जिसे 1 से गिना जाता है। kवें पद में सूत्र के अंदर $r = k - 1$ लिया जाता है।

अचर पद कैसे ज्ञात करूँ? $(x + 1/x)^n$ जैसे व्यंजकों के लिए, x की कुल घात को शून्य रखकर r हल करें, फिर वही r यहाँ उपयोग करें ($k = r + 1$)।

क्या a और b ऋणात्मक या भिन्नात्मक हो सकते हैं? हाँ — कैलकुलेटर $a^{\,n-r}\cdot b^{\,r}$ का संख्यात्मक मूल्यांकन करता है, इसलिए ऋणात्मक संख्याएँ और दशमलव दोनों काम करते हैं।

द्विपद गुणांक C(n, r)	6
r सूचकांक (k − 1)	2
a पर घातांक (n − r)	2
b पर घातांक (r)	2

द्विपद विस्तार विशिष्ट पद कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

सूत्र (फॉर्मूला)

परिणाम