이항전개 특정항 계산기란?
이 계산기는 \((a + b)^n\)을 전부 전개하지 않고도 원하는 하나의 항만 콕 집어 구해 줍니다. 5번째 항이 필요하든, 상수항을 찾든, 특정 차수의 계수만 알고 싶든, 일반항 공식을 이용하면 곧바로 답이 나옵니다. 국가별 규정이 따로 없는, 어디서나 똑같이 쓰이는 보편적인 수학 도구입니다.
사용 방법
첫 번째 밑 a, 두 번째 밑 b, 지수 n, 그리고 항의 위치 k(첫 번째 항은 1, 두 번째 항은 2, …)를 입력하세요. 그러면 이항계수 \(C(n, r)\), 항의 값, 각 밑에 붙는 지수까지 함께 알려 줍니다. 여기서 k번째 항은 \(r = k - 1\)을 사용한다는 점을 기억하세요.
공식 자세히 보기
\((a + b)^n\)을 전개했을 때의 일반항은 다음과 같습니다.
$$T_{r+1} = \binom{n}{r}\, a^{\,n-r}\, b^{\,r}$$
여기서 \(C(n, r) = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\)는 이항계수입니다. k번째 항은 \(r = k - 1\)에 해당하므로, 첫 번째 항은 \(r = 0\), 마지막 항은 \(r = n\)이 됩니다. 두 지수의 합은 항상 n으로 유지됩니다: \((n - r) + r = n\).
풀이 예시
\((2 + 3)^4\)의 3번째 항을 구해 봅시다. 여기서 \(a = 2\), \(b = 3\), \(n = 4\), \(k = 3\)이므로 \(r = 2\)입니다. 계수는 \(C(4, 2) = 6\)이고, 항은 다음과 같습니다.
$$6 \cdot 2^{\,4-2} \cdot 3^{\,2} = 6 \cdot 4 \cdot 9 = 216$$
파스칼의 삼각형 / 이항계수 표
아래 항목들은 이항계수 \(\binom{n}{r}\)입니다. 전개식의 \(k\)번째 항을 구하려면, 행 \(n\)을 따라 읽고 열 \(r=k-1\)의 값을 취하십시오 (열은 0부터 시작하여 번호가 매겨집니다). 예를 들어, \((a+b)^6\)의 4번째 항은 \(r=3\)을 사용하며, \(\binom{6}{3}=20\)을 얻습니다.
| n | r=0 | r=1 | r=2 | r=3 | r=4 | r=5 | r=6 | r=7 | r=8 | r=9 | r=10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
각 항은 위의 두 항의 합과 같으며, 각 행은 대칭입니다: \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\).
정의 & 용어집
- \(a\) — 첫 번째 항 (밑)
- 이항식 \((a+b)^n\) 내의 선행 식입니다. 각 항에서 \(n-r\)의 거듭제곱으로 올려집니다.
- \(b\) — 두 번째 항 (밑)
- 이항식 내의 뒷따르는 식입니다. 각 항에서 \(r\)의 거듭제곱으로 올려집니다. 음수이거나 역수일 수 있습니다 (예: \(1/x\)); 그 부호와 형태는 항의 값으로 전해집니다.
- \(n\) — 지수 (차수)
- 이항식이 올려지는 거듭제곱입니다. 전개식 전체는 \(n+1\)개의 항을 가지며, 각 항에서 \(a\)와 \(b\)의 지수는 항상 \(n\)으로 합산됩니다.
- \(k\) — 항의 번호
- 원하는 항의 위치로, 1부터 세어집니다 (첫 번째 항 \(a^n\)은 \(k=1\)입니다). 유효한 값은 \(1\)부터 \(n+1\)까지 범위입니다.
- \(r\) — 계수 인덱스
- 이항계수와 거듭제곱에서 사용되는 0부터 시작하는 인덱스로, \(r=k-1\)로 정의됩니다. 또한 \(b\)의 거듭제곱입니다.
- \(T_{r+1}\) — 일반항
- 전개식의 \((r+1)\)번째 항에 대한 공식: \(T_{r+1}=\binom{n}{r}\,a^{\,n-r}\,b^{\,r}\). \(r=k-1\)을 설정하면 \(k\)번째 항을 얻습니다.
- \(\binom{n}{r}\) — 이항계수
- "\(n\) 중에서 \(r\)을 선택한다"고 읽으며, \(n\)개에서 \(r\)개를 선택하는 경우의 수를 세고 \(\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\)로 계산됩니다. \(a\)나 \(b\)의 부호에서 나온 항의 수치적 계수입니다.
자주 묻는 질문
k는 무엇을 뜻하나요? k는 1부터 세는 항의 번호입니다. k번째 항은 공식에서 \(r = k - 1\)을 사용합니다.
상수항은 어떻게 찾나요? \((x + 1/x)^n\) 같은 식에서는 x의 최종 차수가 0이 되도록 식을 세워 r을 구한 뒤, 그 r에 대해 \(k = r + 1\)로 입력하면 됩니다.
a와 b가 음수나 분수여도 되나요? 네. 계산기는 \(a^{\,n-r}\cdot b^{\,r}\)을 수치로 계산하므로 음수나 소수도 문제없이 처리합니다.
