이항전개 계산기란?
이 계산기는 \((a + b)^{n}\) 식을 이항정리로 전개해 줍니다. 식의 계산값, 전개된 항의 개수, 그리고 모든 이항계수 \(C(n,k)\)와 각각의 항 전체를 함께 보여 줍니다. 지수 \(n\)은 0 이상 20 이하의 정수, 계수 \(a\)와 \(b\)는 임의의 실수까지 지원합니다.
사용 방법
첫 번째 항의 계수 a, 두 번째 항의 계수 b, 지수 n을 입력한 뒤 계산 버튼을 누르세요. 상단 결과 박스에는 \((a + b)^{n}\)의 전체 값이 표시되고, 표에서는 항의 개수와 전개된 모든 항의 합(이 값은 반드시 전체 값과 일치해야 합니다)을 확인할 수 있습니다. 전개 결과 박스에는 각 계수와 항이 나열되어 직접 계산한 식을 손쉽게 검산할 수 있습니다.
공식 알아보기
이항정리에 따르면 \((a + b)^{n}\)은 \(k = 0\)부터 \(n\)까지 \(C(n,k) \cdot a^{n-k} \cdot b^{k}\)를 모두 더한 값과 같습니다.
$$\left(a + b\right)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{\,n-k}\, b^{\,k}$$
여기서 계수 \(C(n,k)\)는 파스칼 삼각형의 한 행을 이룹니다. 이 계산기는 큰 팩토리얼 계산을 피하기 위해 점화식 \(C(n,k) = C(n,k-1) \cdot (n - k + 1) / k\)를 사용해 계수를 효율적으로 구합니다.
예제 풀이
\((1 + 1)^{4}\)의 경우 계수는 1, 4, 6, 4, 1입니다. \(a = b = 1\)이므로 각 항의 값은 계수와 같고, 전개식은 다음과 같이 되어 \(2^{4} = 16\)과 정확히 일치합니다.
$$1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16$$
계산기는 5개의 항과 값 16을 출력합니다.
파스칼의 삼각형 참고자료 (행 n = 0부터 10까지)
파스칼의 삼각형의 각 행 \(n\)에는 이항 계수 \(\binom{n}{k}\) (단, \(k = 0, 1, \dots, n\))가 나열되어 있습니다. 이들은 \((a+b)^n\)을 전개할 때 나타나는 정확한 계수들입니다. 모든 내부 항목은 바로 위의 두 항목의 합이고, 각 행의 항목들의 합은 \(2^n\)입니다.
| \(n\) | 계수 \(\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}\) | 행의 합 \(2^n\) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1, 1 | 2 |
| 2 | 1, 2, 1 | 4 |
| 3 | 1, 3, 3, 1 | 8 |
| 4 | 1, 4, 6, 4, 1 | 16 |
| 5 | 1, 5, 10, 10, 5, 1 | 32 |
| 6 | 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 | 64 |
| 7 | 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 | 128 |
| 8 | 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1 | 256 |
| 9 | 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1 | 512 |
| 10 | 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1 | 1024 |
예를 들어, 행 10의 중앙 계수는 252이며, \(k=5\)에서 찾을 수 있습니다. \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)이기 때문에 각 행은 대칭입니다.
더 많은 풀이 예제
예제 1: \((x+2)^3\)
\(a=x\), \(b=2\), \(n=3\)입니다. 행-3의 계수는 \(1, 3, 3, 1\)입니다. \(\sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}x^{3-k}2^{k}\)에 대입합니다:
$$\binom{3}{0}x^3(2)^0 + \binom{3}{1}x^2(2)^1 + \binom{3}{2}x^1(2)^2 + \binom{3}{3}x^0(2)^3$$$$= 1\cdot x^3 + 3\cdot x^2\cdot 2 + 3\cdot x\cdot 4 + 1\cdot 8 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$$\(x\)의 지수는 \(3 \to 0\)으로 내려가고 \(2\)의 지수는 \(0 \to 3\)으로 올라갑니다.
예제 2: \((2a-b)^4\) — 교대 부호
뺄셈을 \(b \to -b\)로 작성하여, 밑수 항은 \(2a\)와 \(-b\)이고, \(n=4\)이며 계수는 \(1, 4, 6, 4, 1\)입니다:
$$\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}(2a)^{4-k}(-b)^{k}$$$$= 1(2a)^4 + 4(2a)^3(-b) + 6(2a)^2(-b)^2 + 4(2a)(-b)^3 + 1(-b)^4$$$$= 16a^4 - 32a^3 b + 24a^2 b^2 - 8a b^3 + b^4$$\((-b)^k\)는 홀수 \(k\)에서 음수이고 짝수 \(k\)에서 양수이기 때문에, 부호는 \(+,-,+,-,+\)로 교대로 나타납니다.
예제 3: \((x+1)^6\) — 명시적 올라가는/내려가는 지수
\(a=x\), \(b=1\), \(n=6\)이므로, 행-6의 계수는 \(1, 6, 15, 20, 15, 6, 1\)입니다. \(1\)의 모든 거듭제곱은 \(1\)이므로, 계수가 직접 나타납니다:
$$(x+1)^6 = x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1$$중앙 계수 \(20\)은 20, 즉 \(\binom{6}{3}\)과 같습니다. \(x\)의 지수는 일곱 개 항 전체에서 \(6\)에서 \(0\)으로 내려갑니다.
핵심 용어 및 변수
- \(a\) — 첫 번째 밑수 항
- 이항식 \((a+b)^n\) 내부의 첫 번째 양입니다. 전개된 각 항에서 내려가는 거듭제곱 \(a^{n-k}\)으로 올려집니다.
- \(b\) — 두 번째 밑수 항
- 이항식 내부의 두 번째 양입니다. 올라가는 거듭제곱 \(b^{k}\)으로 올려집니다. 뺄셈 \((a-b)^n\)의 경우, \(b\)를 음수로 취급하여 부호가 교대로 나타나도록 합니다.
- \(n\) — 지수 (차수)
- 이항식이 올려지는 거듭제곱입니다. 음이 아닌 정수 \(n\)의 경우, 전개식은 정확히 \(n+1\)개의 항을 가지며, \(n\)은 파스칼의 삼각형의 행 \(n\)을 선택합니다.
- \(k\) — 합산 지수
- \(\sum_{k=0}^{n}\)에서 \(0\)부터 \(n\)까지 실행되는 계산기입니다. 각 항의 위치를 식별하고 거듭제곱 \(a^{n-k}b^{k}\)을 설정합니다.
- \(\binom{n}{k}\) — 이항 계수
- "n개 중 k개 선택"으로 읽으며, \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)로 계산됩니다. 지수 \(k\)를 가진 항의 숫자 승수입니다 (또한 \(n\)개 중 \(k\)개 항목을 선택하는 방법의 개수).
- 단일 항
- \(\binom{n}{k}\,a^{n-k}\,b^{k}\) 형식의 완전한 합산항 하나: 계수에 \(a\)의 거듭제곱 및 \(b\)의 거듭제곱을 곱한 것이며, 이들의 지수는 항상 \(n\)에 더합니다.
자주 묻는 질문
\(n\)이 분수나 음수가 될 수 있나요? 이 계산기는 0부터 20까지의 음이 아닌 정수 지수만 지원하며, 이때 전개식은 정확히 \(n + 1\)개의 항을 가집니다.
'항의 합' 행은 무엇을 의미하나요? 전개된 모든 항을 더한 값으로, 검산을 위한 항목입니다. 이 값은 항상 \((a + b)^{n}\)의 계산값과 같아야 합니다.
계수를 왜 \(C(n,k)\)로 표기하나요? \(C(n,k)\)는 이항계수를 나타내는 표준 표기로, \(n! / (k!(n-k)!)\)와 같으며 각 항에 곱해지는 계수를 의미합니다.
