二项式展开计算器是什么？
本工具利用二项式定理对表达式 \((a + b)^{n}\) 进行展开。它会给出表达式的数值结果、展开后的项数，以及包含每个二项式系数 \(C(n,k)\) 和对应单项的完整列表。指数 \(n\) 可取 0 到 20 之间的任意非负整数，系数 \(a\)、\(b\) 可为任意实数。
使用方法
输入第一项系数 a、第二项系数 b 以及指数 n，然后点击"计算"。顶部结果框会显示 \((a + b)^{n}\) 的总数值；表格则会确认展开的项数，以及所有展开项的总和（该总和必须等于上述数值）。展开框中会逐一列出每个系数和对应项，方便你核对运算过程。
公式解析
二项式定理指出，\((a + b)^{n}\) 等于 \(k\) 从 0 到 \(n\) 的求和 \(C(n,k) \cdot a^{n-k} \cdot b^{k}\)。
$$\left(a + b\right)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{\,n-k}\, b^{\,k}$$其中系数 \(C(n,k)\) 正好构成杨辉三角（即帕斯卡三角）的一行。我们采用递推公式 \(C(n,k) = C(n,k-1) \cdot (n - k + 1) / k\) 来高效计算这些系数，避免直接计算庞大的阶乘。
实例演算
以 \((1 + 1)^{4}\) 为例：各项系数依次为 1、4、6、4、1。由于 \(a = b = 1\)，每一项的值就等于其系数，因此展开式为
$$1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16$$恰好等于 \(2^{4} = 16\)。计算器会输出 5 项，数值为 16。
帕斯卡三角形参考表（第0到10行）
帕斯卡三角形的每一行 \(n\) 列出二项式系数 \(\binom{n}{k}\)，其中 \(k = 0, 1, \dots, n\)。这些恰好是展开 \((a+b)^n\) 时出现的系数。每个内部的项都等于它正上方两个项的和，每行的项之和为 \(2^n\)。
| \(n\) | 系数 \(\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}\) | 行和 \(2^n\) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1, 1 | 2 |
| 2 | 1, 2, 1 | 4 |
| 3 | 1, 3, 3, 1 | 8 |
| 4 | 1, 4, 6, 4, 1 | 16 |
| 5 | 1, 5, 10, 10, 5, 1 | 32 |
| 6 | 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 | 64 |
| 7 | 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 | 128 |
| 8 | 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1 | 256 |
| 9 | 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1 | 512 |
| 10 | 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1 | 1024 |
例如，第10行的中间系数是 252，位于 \(k=5\)。每一行都是对称的，因为 \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)。
更多计算示例
示例1：\((x+2)^3\)
这里 \(a=x\)、\(b=2\)、\(n=3\)。第3行的系数为 \(1, 3, 3, 1\)。代入 \(\sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}x^{3-k}2^{k}\)：
$$\binom{3}{0}x^3(2)^0 + \binom{3}{1}x^2(2)^1 + \binom{3}{2}x^1(2)^2 + \binom{3}{3}x^0(2)^3$$$$= 1\cdot x^3 + 3\cdot x^2\cdot 2 + 3\cdot x\cdot 4 + 1\cdot 8 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$$\(x\) 的幂次从 \(3\) 递减到 \(0\)，而 \(2\) 的幂次从 \(0\) 递增到 \(3\)。
示例2：\((2a-b)^4\) — 交替符号
将减法写成 \(b \to -b\)，所以基础项为 \(2a\) 和 \(-b\)，\(n=4\)，系数为 \(1, 4, 6, 4, 1\)：
$$\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}(2a)^{4-k}(-b)^{k}$$$$= 1(2a)^4 + 4(2a)^3(-b) + 6(2a)^2(-b)^2 + 4(2a)(-b)^3 + 1(-b)^4$$$$= 16a^4 - 32a^3 b + 24a^2 b^2 - 8a b^3 + b^4$$因为 \((-b)^k\) 在 \(k\) 为奇数时为负，在 \(k\) 为偶数时为正，所以符号交替为 \(+,-,+,-,+\)。
示例3：\((x+1)^6\) — 明确的递增/递减幂次
当 \(a=x\)、\(b=1\)、\(n=6\) 时，第6行的系数为 \(1, 6, 15, 20, 15, 6, 1\)。由于 \(1\) 的每个幂次都是 \(1\)，系数直接出现：
$$(x+1)^6 = x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1$$中心系数 \(20\) 等于 20，即 \(\binom{6}{3}\)。\(x\) 的指数在这七项中从 \(6\) 递减到 \(0\)。
关键术语和变量
- \(a\) — 第一个基础项
- 二项式 \((a+b)^n\) 内的第一个量。在每个展开项中，它被提升到递减幂 \(a^{n-k}\)。
- \(b\) — 第二个基础项
- 二项式内的第二个量。它被提升到递增幂 \(b^{k}\)。对于减法 \((a-b)^n\)，将 \(b\) 视为负数，以便符号交替。
- \(n\) — 指数（次数）
- 二项式被提升到的幂。对于非负整数 \(n\)，展开式有恰好 \(n+1\) 项，\(n\) 对应帕斯卡三角形的第 \(n\) 行。
- \(k\) — 求和索引
- 在 \(\sum_{k=0}^{n}\) 中从 \(0\) 到 \(n\) 的计数器。它识别每一项的位置，并设置幂次 \(a^{n-k}b^{k}\)。
- \(\binom{n}{k}\) — 二项式系数
- 读作"n个中选k个"，计算方式为 \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)。它是指数为 \(k\) 的项的数值乘数（也是从 \(n\) 个项中选择 \(k\) 个项的方法数）。
- 单个项
- 一个完整的求和项，形式为 \(\binom{n}{k}\,a^{n-k}\,b^{k}\)：一个系数乘以 \(a\) 的幂和 \(b\) 的幂，其指数总和为 \(n\)。
常见问题
\(n\) 可以是分数或负数吗？ 本计算器仅支持非负整数指数（0 到 20），此时展开式恰好有 \(n + 1\) 项。
"各项之和"这一行是什么意思？ 它把所有展开项相加，用作验证；该结果应始终等于计算器给出的 \((a + b)^{n}\) 数值。
系数列表为什么用 \(C(n,k)\) 表示？ \(C(n,k)\) 是二项式系数的标准记法，等于 \(n! / (k!(n-k)!)\)，表示每一项前面的系数。
