什么是二项式系数？
二项式系数记作 C(n, k)，读作"n 选 k"，表示在不考虑选取顺序的情况下，从 n 个互不相同的元素中选出 k 个的方法总数。它是组合数学与概率论中最基础的量之一，常见于杨辉三角（帕斯卡三角）、二项式定理以及各类计数问题中。
如何使用本计算器
输入元素总数 n 以及你想选取的个数 k，计算器即可给出精确的组合数。如果 k 大于 n，结果为 0，因为你不可能选出比现有元素更多的数量。
公式详解
经典定义为：
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,\left(n - k\right)!}$$
由于阶乘增长极快，本工具采用等价的连乘形式：对 i = 1…min(k, n−k) 依次乘以 (n−k+i)/i。这样可以让中间结果保持较小，避免数值溢出，同时得到完全相同的整数答案。
例题演示
从 5 张牌中抽取 2 张，能组成多少种不同的牌型？计算 $$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,\cdot\,3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = \frac{120}{12} = 10.$$因此共有 10 种可能的组合。
帕斯卡三角形参考表（小n的C(n,k)）
表中的每一项都是二项式系数 \(\binom{n}{k}\)，按照每一行 \(n\) 列出 \(k = 0, 1, \dots, n\) 的值进行排列。这就构成了帕斯卡三角形，其中每个内部项都等于它上方两个斜对角项的和：\(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\)。注意每一行内的对称性，因为 \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)。
| n \ k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
例如，\(\binom{10}{3} = \) 120，位于第10行，第 \(k=3\) 列。第 \(n\) 行中所有项的和等于 \(2^n\)（例如第4行：\(1+4+6+4+1 = 16 = 2^4\)）。
更多工作示例
下面的示例应用公式 \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)，使用乘法快捷方式 \(\binom{n}{k} = \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\)，这样巨大的阶乘在任何大乘法进行之前就能相消。
示例 1：\(\binom{10}{3}\) — 从 10 个中选择 3 个
仅保留 \(10!\) 除以 \(3!\) 的前 3 个递减因子：
$$\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{6} = 120$$因此，当顺序无关时，从 10 个项目中选择 3 个的方法有 120 种。
示例 2：\(\binom{6}{6}\) — 选择全部
选择所有可用项恰好只有一种方法。当 \(k = n\) 时，\((n-k)!\) 项变为 \(0! = 1\)：
$$\binom{6}{6} = \frac{6!}{6!\,(6-6)!} = \frac{720}{720 \cdot 1} = 1$$这证实了恒等式 \(\binom{n}{n} = \binom{n}{0} = \) 1。
示例 3：\(\binom{49}{6}\) — 一个 6/49 彩票
从 49 个数字的池中得出不同无序 6 号组合的数量使用乘法快捷方式与六个最大的递减因子：
$$\binom{49}{6} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6!}$$分子是 \(49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 = 10{,}068{,}347{,}520\)，分母是 \(6! = 720\)：
$$\binom{49}{6} = \frac{10{,}068{,}347{,}520}{720} = 13{,}983{,}816$$因此，单张彩票有 1 比 13,983,816 的概率匹配全部六个号码。如果您希望有序抽签，您将使用排列 \(P(49,6) = \binom{49}{6}\cdot 6!\) — 但对于典型彩票，只有组合才重要。
常见问题
C(n, 0) 等于多少？ 永远等于 1——什么都不选，只有这一种方式。
C(n, k) 与 C(n, n−k) 相等吗？ 相等。二项式系数具有对称性：选出 k 个保留，与选出 n−k 个舍弃，方法数是一样的。
组合与排列有什么区别？ 组合不计较顺序，排列则要计较顺序。排列数等于 \(\binom{n}{k} \times k!\)。
