第三类完全椭圆积分 Pi(n,k) 计算器

输入计算

结果

Π(n, k)

2.8771910188

无量纲

被积函数	1 / [ (1 − n·sin²θ) · √(1 − k²·sin²θ) ]
约定	modulus k (k²), characteristic factor 1 − n·sin²θ
计算方法	复合辛普森法，200000 个区间

什么是第三类完全椭圆积分？

第三类完全椭圆积分通常记作 $\Pi(n,k)$，是一类特殊函数，常出现在经典力学（如含类阻尼项的单摆周期）、电磁学以及几何问题中。它定义为：被积函数取 1 除以 $(1 - n\sin^{2}\theta)$ 与 $\sqrt{1 - k^{2}\sin^{2}\theta}$ 之乘积，对 $\theta$ 从 0 积分到 $\pi/2$。 $$\Pi(n,k) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\theta}{\left(1 - n\,\sin^{2}\theta\right)\sqrt{1 - k^{2}\,\sin^{2}\theta}}$$ 本计算器通过数值方法对其求值，属于纯数学工具，在任何地区的结果都完全一致，不受国家或地区差异影响。

角度 θ 从 0 到 π/2 的示意图，上升曲线下方的阴影区域表示积分 — 完全椭圆积分对角度 $\theta$ 从 0 到 $\pi/2$ 进行积分。

本工具采用的约定

不同教材采用的约定各不相同，请务必看清以下说明。本工具使用模数 $k$ 约定：根号内为 $k^{2}\sin^{2}\theta$。部分文献则使用参数 $m$，其中 $m = k^{2}$。同时，我们在因子 $(1 - n\sin^{2}\theta)$ 中使用特征参数 $n$，且 $n$ 不取平方。还有少数教材把该因子写作 $(1 + n\sin^{2}\theta)$；若要与之对应，只需将 $n$ 取相反数即可。由于 $k$ 仅以平方形式出现，因此 $k$ 的正负号不会影响计算结果。

并排对比模数 k 约定与参数 m 约定的示意图 — 此工具采用模数 $k$ 约定（$m = k^{2}$），与参数约定不同。

使用方法

请输入特征参数 $n$ 和模数 $k$。对于普通的有限取值，请保持 $|k| < 1$ 且 $n < 1$。本工具采用复合辛普森（Simpson）法，使用 200,000 个区间进行积分，对于性态良好的输入可获得约十位甚至更高的有效数字精度。

计算示例

取 $n = 0.7$、$k = 0.1$。先做一个快速估算： $$\Pi(n,0) = \frac{\pi/2}{\sqrt{1 - n}} = \frac{1.5707963}{\sqrt{0.3}} = 2.86790$$ 再加上较小的 $k = 0.1$ 修正项后，结果会略有上升；经过完整的数值积分，得到 $\Pi(0.7, 0.1) \approx 2.87224$。