Calculadora de la integral elíptica completa de tercera especie Π(n,k)

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Resultados

Π(n, k)

2,8771910188

adimensional

Integrando	1 / [ (1 − n·sin²θ) · √(1 − k²·sin²θ) ]
Convención	modulus k (k²), characteristic factor 1 − n·sin²θ
Método	Simpson compuesto, 200000 paneles

¿Qué es la integral elíptica completa de tercera especie?

La integral elíptica completa de tercera especie, escrita como $\Pi(n,k)$, es una función especial que aparece en la mecánica clásica (el periodo de un péndulo con términos de tipo amortiguamiento), en el electromagnetismo y en la geometría. Se define como la integral de 1 dividido entre (1 - n sen² theta) por la raíz cuadrada de (1 - k² sen² theta), tomada desde theta = 0 hasta pi/2. $$\Pi(n,k) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\theta}{\left(1 - \text{n}\,\sin^{2}\theta\right)\sqrt{1 - \text{k}^{2}\,\sin^{2}\theta}}$$ Esta calculadora la evalúa numéricamente y es una herramienta de matemática pura, válida de forma idéntica en cualquier lugar.

Diagrama de un ángulo theta de 0 a π/2 con el área sombreada bajo una curva ascendente que representa la integral — La integral elíptica completa integra sobre el ángulo theta de 0 a π/2.

Convención utilizada aquí

Las convenciones varían según el libro de texto, así que conviene leer esto con atención. Empleamos la convención del módulo k: el radical contiene k² sen² theta. Algunas referencias usan en su lugar el parámetro m, donde $m = k^{2}$. También usamos la característica n en el factor (1 - n sen² theta) sin elevar n al cuadrado. Algunos textos escriben el factor como (1 + n sen² theta); para ajustarte a ellos, cambia el signo de n. Como k solo aparece al cuadrado, su signo no altera el resultado.

Diagrama comparativo lado a lado de la convención del módulo k y la convención del parámetro m — Esta herramienta usa la convención del módulo k (m = k²), que difiere de la convención del parámetro.

Cómo usarla

Introduce la característica n y el módulo k. Para obtener un valor finito ordinario, mantén $|k| < 1$ y $n < 1$. La herramienta integra mediante la regla compuesta de Simpson con 200.000 paneles, lo que proporciona aproximadamente diez o más cifras significativas para entradas bien comportadas.

Ejemplo resuelto

Tomemos $n = 0{,}7$ y $k = 0{,}1$. Una estimación rápida es $$\Pi(n,0) = \frac{\pi/2}{\sqrt{1 - n}} = \frac{1{,}5707963}{\sqrt{0{,}3}} = 2{,}86790$$ Al añadir la pequeña corrección de $k = 0{,}1$ el valor sube ligeramente, y la integración numérica completa da $\Pi(0{,}7;\ 0{,}1) \approx 2{,}87224$.

Preguntas frecuentes

¿Y si n = 0? Entonces $\Pi(0,k)$ es igual a $K(k)$, la integral elíptica completa de primera especie.

¿Y si k = 0? El integrando se simplifica y $\Pi(n,0) = \frac{\pi/2}{\sqrt{1 - n}}$ para $n < 1$.

¿Por qué no se permite n = 1? El factor se convierte en $\cos^{2}\theta$, lo que produce una singularidad no integrable en $\theta = \pi/2$, de modo que la integral diverge. Los valores $n > 1$ requieren un valor principal de Cauchy, que esta calculadora básica no calcula.

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