¿Qué es la integral elíptica completa de primera especie?
La integral elíptica completa de primera especie, que se escribe \(K(k)\), es una función especial clásica definida por la integral de \(d\theta / \sqrt{1 - k^{2}\cdot\sin^{2}\theta}\) entre 0 y \(\pi/2\). Aparece siempre que necesitas el periodo exacto (de gran amplitud) de un péndulo, la inductancia mutua de bobinas coaxiales mediante la fórmula de Neumann, longitudes de arco o los campos de tensión alrededor de grietas elípticas. Esta calculadora devuelve el valor real de \(K(k)\) para un módulo elíptico \(k\) dado.
Convención: módulo k, no parámetro m
Existen dos convenciones habituales. Esta herramienta utiliza directamente el módulo \(k\), de modo que el parámetro es \(m = k^{2}\). Por tanto, el \(K(k)\) de este sitio coincide con la función ellipke(m) de MATLAB tomando \(m = k^{2}\). Por ejemplo, ellipke(0.5) en MATLAB equivale a introducir aquí \(k = \sqrt{0.5} \approx 0.7071\). Comprueba siempre qué convención emplea cada referencia antes de comparar resultados.
Cómo usarla
Introduce el módulo elíptico \(k\) en el intervalo \(-1 \le k \le 1\) y obtén \(K(k)\). Como \(K\) es par en \(k\), el signo no influye (\(K(-k) = K(k)\)); la herramienta toma internamente el valor absoluto. La función es finita para \(|k| < 1\) y diverge de forma logarítmica cuando \(|k|\) se acerca a 1.
La fórmula y el método
Empleamos la media aritmético-geométrica:
$$K(k) = \frac{\pi}{2\,\mathrm{AGM}\!\left(1,\;\sqrt{1 - k^{2}}\right)}$$Partiendo de \(a = 1\) y \(b = \sqrt{1 - k^{2}}\) (el módulo complementario), se reemplazan ambos repetidamente por sus medias aritmética y geométrica hasta que coinciden. La AGM converge cuadráticamente, así que con una docena de iteraciones se alcanza la precisión doble completa.
Ejemplo resuelto
Para \(k = 0.1\): \(m = 0.01\) y el módulo complementario es \(\sqrt{0.99} \approx 0.994987\). La AGM de 1 y 0.994987 converge a unos 0.9974921. Entonces
$$K(0.1) = \frac{\pi}{2 \times 0.9974921} \approx 1.5747456$$Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale K(0)? Exactamente \(\pi/2 \approx 1.5707963\), ya que el integrando se reduce a 1.
¿Por qué se dispara en k = 1? El módulo complementario se hace 0, \(\mathrm{AGM}(1,0) = 0\) y \(K(k)\) tiene una singularidad logarítmica, por lo que \(K \to +\infty\).
¿Puedo introducir |k| > 1? No. Fuera del intervalo \(-1 \le k \le 1\) la integral real no está definida; haría falta una transformación de módulo recíproco, así que la herramienta rechaza esos valores.
