Qu'est-ce que l'intégrale elliptique complète de première espèce ?
L'intégrale elliptique complète de première espèce, notée \(K(k)\), est une fonction spéciale classique définie par l'intégrale de \(d\theta / \sqrt{1 - k^{2}\sin^{2}\theta}\) calculée de \(0\) à \(\pi/2\). On la rencontre dès qu'il s'agit de déterminer la période exacte (grande amplitude) d'un pendule, l'inductance mutuelle de bobines coaxiales via la formule de Neumann, des longueurs d'arc ou encore les champs de contraintes autour de fissures elliptiques. Ce calculateur renvoie la valeur réelle de \(K(k)\) pour un module elliptique \(k\) donné.
Convention : module k, et non paramètre m
Il existe deux conventions courantes. Cet outil utilise directement le module \(k\) ; le paramètre vaut donc \(m = k^{2}\). Autrement dit, le \(K(k)\) de ce site correspond à la fonction ellipke(m) de MATLAB avec \(m = k^{2}\). Par exemple, ellipke(0.5) sous MATLAB revient à saisir ici \(k = \sqrt{0.5} \approx 0{,}7071\). Vérifiez toujours quelle convention adopte une source avant de comparer des valeurs.
Comment l'utiliser
Saisissez le module elliptique \(k\) dans l'intervalle \(-1 \le k \le 1\), puis lisez la valeur de \(K(k)\). Comme \(K\) est paire en \(k\), le signe n'a aucune importance (\(K(-k) = K(k)\)) : l'outil prend la valeur absolue en interne. La fonction reste finie pour \(|k| < 1\) et diverge logarithmiquement lorsque \(|k|\) tend vers \(1\).
La formule et la méthode
Nous employons la moyenne arithmético-géométrique : $$K(k) = \frac{\pi}{2\,\mathrm{AGM}\!\left(1,\;\sqrt{1 - k^{2}}\right)}.$$ En partant de \(a = 1\) et \(b = \sqrt{1 - k^{2}}\) (le module complémentaire), on remplace de façon répétée ces deux nombres par leur moyenne arithmétique et leur moyenne géométrique jusqu'à ce qu'ils coïncident. La MAG converge de manière quadratique : une douzaine d'itérations suffisent pour atteindre la pleine précision en double.
Exemple détaillé
Pour \(k = 0{,}1\) : \(m = 0{,}01\) et le module complémentaire vaut \(\sqrt{0{,}99} \approx 0{,}994987\). La MAG de \(1\) et de \(0{,}994987\) converge vers environ \(0{,}9974921\). On obtient alors $$K(0{,}1) = \frac{\pi}{2 \times 0{,}9974921} \approx 1{,}5747456.$$
Foire aux questions
Que vaut \(K(0)\) ? Exactement \(\pi/2 \approx 1{,}5707963\), puisque l'intégrande se réduit à \(1\).
Pourquoi diverge-t-elle en \(k = 1\) ? Le module complémentaire devient nul, \(\mathrm{AGM}(1,0) = 0\), et \(K(k)\) présente une singularité logarithmique : \(K \to +\infty\).
Puis-je saisir \(|k| > 1\) ? Non. En dehors de \(-1 \le k \le 1\), l'intégrale réelle n'est pas définie ; une transformation par module réciproque s'impose, c'est pourquoi l'outil rejette ces valeurs.
