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Résultats

Solutions

x = 8 or x = -2

deux solutions

Équation	\|a·x + b\| = c
Nombre de solutions	2

Qu'est-ce qu'une équation à valeur absolue ?

Une équation à valeur absolue s'écrit sous la forme $|ax + b| = c$, où l'expression placée entre les barres de valeur absolue doit se situer à une distance fixe $c$ de zéro. Comme la valeur absolue mesure une distance, la quantité à l'intérieur peut être aussi bien positive que négative : c'est pourquoi ce type d'équation admet généralement deux solutions. Ce calculateur résout toute équation écrite sous la forme $|ax + b| = c$ par rapport à l'inconnue $x$.

Droite numérique montrant deux points équidistants d'une valeur centrale — La valeur absolue mesure la distance à zéro, donnant deux solutions équidistantes sur la droite numérique.

Comment utiliser le calculateur

Saisissez les trois nombres $a$, $b$ et $c$ issus de votre équation. Par exemple, $|2x - 3| = 5$ correspond à $a = 2$, $b = -3$ et $c = 5$. Cliquez sur « Calculer » et l'outil affiche les deux valeurs possibles de $x$, une valeur unique lorsque $c = 0$, ou un message « aucune solution » lorsque $c$ est négatif.

La formule expliquée

Pour supprimer la valeur absolue, on sépare l'équation en deux cas : $ax + b = c$ et $ax + b = -c$. En résolvant chacun par rapport à $x$, on obtient $$|ax+b| = c \implies x = \frac{c-b}{a} \;\text{ ou }\; x = \frac{-c-b}{a}$$ Si $c < 0$, il n'existe aucune solution, car une valeur absolue n'est jamais négative. Si $c = 0$, les deux cas se confondent en une seule solution. Le coefficient $a$ doit être différent de zéro, sinon il n'y a plus d'inconnue à déterminer.

Courbe en V de la valeur absolue coupant une droite horizontale en deux points — Les deux solutions sont là où la courbe en V de $|ax+b|$ rencontre la droite horizontale $y = c$.

Exemple résolu

Résolvons $|2x - 3| = 5$. Ici $a = 2$, $b = -3$, $c = 5$. Première solution : $$x = \frac{5 - (-3)}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ Deuxième solution : $$x = \frac{-5 - (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ On obtient donc $x = 4$ ou $x = -1$. Vérification : $|2(4) - 3| = |5| = 5$ ✓ et $|2(-1) - 3| = |-5| = 5$ ✓.

FAQ

Pourquoi une équation à valeur absolue a-t-elle deux solutions ? Parce qu'une quantité positive et une quantité négative ont la même valeur absolue : l'expression intérieure peut être égale à $+c$ ou à $-c$.

Quand n'y a-t-il aucune solution ? Lorsque $c$ est négatif. Une valeur absolue est toujours nulle ou positive, elle ne peut donc jamais égaler un nombre négatif.

Et si $c$ est égal à zéro ? Alors $|ax + b| = 0$ impose $ax + b = 0$, ce qui donne une seule solution : $x = \frac{-b}{a}$.

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