絶対値方程式とは？
絶対値方程式とは、\(|ax + b| = c\) の形をした方程式のことです。絶対値の記号の中の式が、0 から一定の距離 \(c\) だけ離れていることを表します。絶対値は「0からの距離」を意味するため、中の値は正にも負にもなり得ます。これが、絶対値方程式が通常2つの解を持つ理由です。この計算ツールでは、\(|ax + b| = c\) の形で書かれたあらゆる方程式を、変数 \(x\) について解くことができます。
計算ツールの使い方
方程式から、a・b・c の3つの数値を入力します。たとえば \(|2x - 3| = 5\) なら、\(a = 2\)、\(b = -3\)、\(c = 5\) となります。「計算する」をクリックすると、\(x\) の取り得る2つの値が表示されます。\(c = 0\) のときは1つの値が、\(c\) が負の値のときは「解なし」というメッセージが返されます。
公式の解説
絶対値をはずすため、方程式を2つの場合に分けて考えます。すなわち、\(ax + b = c\) と \(ax + b = -c\) の2通りです。それぞれを \(x\) について解くと、次が得られます。
$$x = \frac{c-b}{a} \;\text{ または }\; x = \frac{-c-b}{a}$$\(c < 0\) の場合、絶対値は決して負にならないため解は存在しません。\(c = 0\) の場合は2つの場合が1つにまとまり、解は1つだけになります。なお、係数 \(a\) は 0 であってはなりません。0 だと解くべき変数が消えてしまうからです。
計算例
\(|2x - 3| = 5\) を解いてみましょう。ここでは \(a = 2\)、\(b = -3\)、\(c = 5\) です。1つ目の解は $$x = \frac{5 - (-3)}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ 2つ目の解は $$x = \frac{-5 - (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ したがって \(x = 4\) または \(x = -1\) となります。検算してみると、\(|2(4) - 3| = |5| = 5\) ✓、そして \(|2(-1) - 3| = |-5| = 5\) ✓ となり、いずれも成り立ちます。
よくある質問
絶対値方程式の解が2つになるのはなぜ？ 正の値と負の値は同じ絶対値を持つため、中の式は \(+c\) にも \(-c\) にもなり得るからです。
解が存在しないのはどんなとき？ \(c\) が負の値のときです。絶対値は常に 0 以上なので、負の数と等しくなることは決してありません。
c が 0 のときはどうなる？ その場合 \(|ax + b| = 0\) となり、\(ax + b = 0\) が成り立たなければなりません。よって解はちょうど1つ、\(x = \frac{-b}{a}\) となります。
