この計算機でできること
このツールは、標準的な形 \(|ax + b|\) と \(c\) を比較する絶対値不等式を解きます。比較記号は <、≤、>、≥ のいずれかが使えます。係数 \(a\)、内側の定数 \(b\)、不等式の種類、右辺の値 \(c\) を入力すると、解の集合を正確な区間として、その境界点とともに表示します。
使い方
解きたい不等式が \(|ax + b| \mathrel{?} c\) の形になるように値を選びます。たとえば \(|2x - 4| \le 6\) なら、\(a = 2\)、\(b = -4\)、種類は「≤」、\(c = 6\) です。フォームを送信すると解の区間が表示されます。角括弧 [ ] は端点を含むこと（≤ または ≥）を表し、丸括弧 ( ) は端点を含まないこと（< または >）を表します。
公式の解説
絶対値は0からの距離を表すため、決して負にはなりません。「より小さい」型の不等式では、\(|ax+b| < c\) は式が0から距離 \(c\) の範囲内にとどまることを意味し、連立不等式 $$-c < ax+b < c$$ が得られます。これを \(x\) について解くと、\(\frac{-c-b}{a}\) と \(\frac{c-b}{a}\) の間にある1つの有界な区間になります。一方「より大きい」型の不等式では、式は0から \(c\) より遠くになければならず、$$ax+b < -c \quad \text{または} \quad ax+b > c$$ という2本の半直線に分かれ、2つの区間の和集合になります。特殊なケースとして、\(c\) が負の場合、「より小さい」型は解なしとなり、「より大きい」型はすべての実数が解となります。
計算例
\(|2x - 4| \le 6\) を解いてみましょう。ここで \(a = 2\)、\(b = -4\)、\(c = 6\) です。書き換えると $$-6 \le 2x - 4 \le 6.$$ 両辺に4を加えて $$-2 \le 2x \le 10.$$ 2で割って $$-1 \le x \le 5.$$ 解の集合は閉区間 \([-1, 5]\) です。
主要用語と記号
- 絶対値 \(|u|\)
- 数直線上でゼロからの数の距離であり、常に非負です。例えば \(|-3| = 3\) および \(|5| = 5\)。距離であるため、\(u\) のあらゆる値に対して \(|u| \ge 0\) です。
- 境界点
- 絶対値式が正確に \(c\) に等しい \(x\) の値です。これは解と非解の分割点です。関連する方程式 \(|ax+b| = c\) を解くことで求めます。
- 開区間
- その端点を含まない区間であり、厳密な不等式（\(<, >\)）に使用されます。括弧で表記します。例：\((-1, 5)\)
- 閉区間
- その端点を含む区間であり、包括的な不等式（\(\le, \ge\)）に使用されます。角括弧で表記します。例：\([-1, 5]\)
- 角括弧 \([\;]\) と括弧 \((\;)\)
- 四角い括弧は端点が解に含まれることを意味します（\(\le\) または \(\ge\)）。括弧は端点が除外されることを意味します（\(<\) または \(>\)）。無限大は常に括弧を使用します。
- 和集合 \(\cup\)
- 2つの別の集合を1つの解に統合します。「より大きい」の絶対値不等式は2つの射線の和集合を生成します。例：\((-\infty,-1)\cup(5,\infty)\)
- 連言（「かつ」）と選言（「または」）
- 連言は両方の条件が同時に成立することを要求し、単一の有界区間（「\(<\)」の場合）を生成します。選言は1つの条件だけが成立することを要求し、2つの射線の和集合（「\(>\)」の場合）を生成します。
- 係数 \(a\)、\(b\)、\(c\)
- \(|ax+b| \;\square\; c\) において：\(a\) は棒の内側で \(x\) に掛かる係数、\(b\) は棒の内側に加わる定数、\(c\) は絶対値が比較される右辺の値です。
よくある質問
\(a\) が負の場合はどうなりますか？ 計算機が2つの境界値を小さい順に自動で並べ替えるため、区間は常に正しく表示されます。
なぜ \(|ax+b| < 0\) は解なしになるのですか？ 絶対値は決して負にならないため、負の数（や0）より小さくなることはあり得ないからです。
∪ という記号は何を意味しますか？ 和集合を表す記号で、答えが2つの別々の区間を合わせたものであることを示します。これは「より大きい」型の不等式で起こります。
