この計算機でできること
この計算機は、2種類の完全楕円積分——第1種 \(K(k)\) と第2種 \(E(k)\)——を、母数 \(k\) を一定の刻みで変化させながら一覧表にします。初期値・刻み幅・行数を入力すると、\(k\) を初期値から1行ごとに刻み幅だけ増やしていき、各行の \(K(k)\) と \(E(k)\) を計算して表示します。これは純粋な数学（特殊関数）の計算であり、国や地域を問わず結果はまったく同じです。
使い方
\(k\) の初期値（母数。単位のない比で \(-1 \le k \le 1\)）、各行ごとに \(k\) に加える増分（刻み幅）（負の値でも構いません）、そして繰り返し回数（行数。1 以上の整数）を入力します。たとえば初期値 0、刻み 0.02、行数 51 とすれば、\(k\) は 0.00 から 1.00 まで変化します。これらの積分は \(k\) の2乗だけに依存するため、負の \(k\) は正の \(k\) と同じ値になります。
計算式の解説
ここで引数として扱うのは母数 \(k\) であり、母数パラメータ \(m = k^2\) ではありません。積分の形で書くと、\(K(k)\) は 0 から \(\pi/2\) までの \(d\theta / \sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}\) の積分、\(E(k)\) は同じ範囲で \(\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}\; d\theta\) を積分したものです。
$$K(k_i) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k_i^2 \sin^2\theta}}, \qquad E(k_i) = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - k_i^2 \sin^2\theta}\; d\theta$$計算には、高速かつ高精度な算術幾何平均（AGM）を用います：\(K(k) = \pi / (2 \cdot \operatorname{AGM}(1, \sqrt{1 - k^2}))\)。\(E(k)\) については AGM の途中で現れる \(c\) 項を積み上げて求めます：\(E(k) = K(k) \cdot (1 - \sum 2^{n-1} c_n^2)\)、ただし \(c_0^2 = k^2\) です。
計算例
\(k = 0.5\) のとき：\(1 - k^2 = 0.75\)、その平方根は \(0.8660254\)。\(\operatorname{AGM}(1, 0.8660254) \approx 0.9318082\) なので、\(K(0.5) = \pi / (2 \cdot 0.9318082) = 1.6857503548\) となります。\(c\) 項の総和は \(\approx 0.1339804\) で、\(E(0.5) = 1.6857503548 \cdot (1 - 0.1339804) = 1.4603362889\) です。
よくある質問
\(k = 1\) のときはどうなりますか？ \(K(1)\) は無限大に発散します。一方、\(E(1)\) はちょうど 1 です。境界の行では計算が止まることなく、\(K\) に「Infinity（無限大）」、\(E\) に 1 が表示されます。
母数 \(k\) と \(m\) のどちらを使いますか？ この計算機は母数 \(k\) を使用します。パラメータ \(m\) を持っている場合は、平方根をとって（\(k = \sqrt{m}\)）から入力してください。
\(|k| > 1\) の場合はどうなりますか？ それは実数の定義域 \(-1 \le k \le 1\) の外です。そのような行は定義域外として表示されます。
