이 계산기의 기능
이 도구는 두 가지 완전 타원 적분의 표를 만들어 줍니다. 바로 제1종인 \(K(k)\)와 제2종인 \(E(k)\)로, 모듈러스 \(k\) 값을 차례로 변화시키며 계산합니다. 시작 값, 증분 크기, 원하는 행 수를 입력하면, 계산기가 시작 값에서 출발해 매 행마다 증분을 더해 가며 각 행의 \(K(k)\)와 \(E(k)\)를 출력합니다. 이는 순수 수학(특수 함수) 영역이므로 어느 나라에서든 동일하게 적용됩니다.
사용 방법
k의 시작 값(모듈러스이며, \(-1 \le k \le 1\) 범위의 순수한 비율), 매 행마다 \(k\)에 더해지는 증분(음수도 가능), 그리고 반복 횟수(행 수, 1 이상의 정수)를 입력하세요. 예를 들어 시작 값 0, 증분 0.02, 행 수 51로 설정하면 \(k\)가 0.00에서 1.00까지 훑어집니다. 적분 값은 \(k\)의 제곱에만 의존하므로, 음수 \(k\)는 양수 \(k\)와 동일한 값을 줍니다.
공식 설명
여기서 인수는 매개변수 \(m = k^2\)가 아니라 모듈러스 \(k\)입니다. 적분 형태로 보면, \(K(k)\)는 0부터 \(\pi/2\)까지 \(d\theta / \sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}\)를 적분한 값이고, \(E(k)\)는 같은 구간에서 \(\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}\; d\theta\)를 적분한 값입니다.
$$K(k) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}}, \qquad E(k) = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}\; d\theta$$이를 빠르고 정밀한 산술-기하 평균(AGM) 방법으로 계산합니다. \(K(k) = \pi / (2 \cdot \text{AGM}(1, \sqrt{1 - k^2}))\)입니다. \(E\)의 경우 AGM의 \(c\) 항을 누적합니다. \(E(k) = K(k) \cdot (1 - \sum 2^{n-1} c_n^2)\)이며, 여기서 \(c_0^2 = k^2\)입니다.
계산 예시
\(k = 0.5\)인 경우: \(1 - k^2 = 0.75\), 그 제곱근은 \(0.8660254\)입니다. \(\text{AGM}(1, 0.8660254) \approx 0.9318082\)이므로 $$K(0.5) = \frac{\pi}{2 \cdot 0.9318082} = 1.6857503548$$이 됩니다. \(c\) 항의 합은 \(\approx 0.1339804\)이므로 $$E(0.5) = 1.6857503548 \cdot (1 - 0.1339804) = 1.4603362889$$입니다.
자주 묻는 질문
\(k = 1\)일 때는 어떻게 되나요? \(K(1)\)은 무한대로 발산하고, \(E(1)\)은 정확히 1입니다. 경계 행에서 표는 오류로 멈추는 대신 \(K\)에 "무한대", \(E\)에 1을 표시합니다.
이 계산기는 \(k\)를 쓰나요, \(m\)을 쓰나요? 모듈러스 \(k\)를 사용합니다. 매개변수 \(m\)을 가지고 있다면, 입력 전에 제곱근을 취하세요(\(k = \sqrt{m}\)).
\(|k| > 1\)인 경우는요? 그것은 실수 정의역 \(-1 \le k \le 1\)을 벗어난 값이므로, 해당 행은 정의역 벗어남으로 표시됩니다.
