이 계산기는 무엇을 하나요
우리에게 익숙한 단진자 주기 공식 \(T_0 = 2\pi\sqrt{l/g}\)는 사실 흔들림이 아주 작을 때만 들어맞는 근사식입니다. 진폭이 커질수록 실제 진자는 이보다 더 느리게 흔들립니다. 이 도구는 제1종 완전 타원적분을 이용해 정확한 주기를 계산하고, 여러 진폭 각도에 걸쳐 소각도 근사값 및 두 값의 비율을 표로 나란히 보여줍니다.
사용 방법
끈의 길이 \(l\)(미터)과 중력가속도 \(g\)(m/s²)를 입력하세요(기본값 9.80665는 표준 중력가속도입니다). 진폭 간격은 5° 또는 10° 중에서 선택합니다. 결과에서는 진폭과 무관한 소각도 주기 \(T_0\)가 대표값으로 먼저 표시되고, 이어서 간격부터 180° 직전까지의 모든 진폭 \(\alpha\)에 대해 정확 주기 \(T\)와 비율 \(T/T_0\)가 한 줄씩 나옵니다.
공식 풀이
정확한 주기는 $$T = 4\sqrt{\frac{l}{g}}\cdot K(k)$$이며, 여기서 \(k = \sin(\alpha/2)\)는 타원 계수(modulus)이고 $$K(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}$$입니다. \(K\)는 빠르고 정확한 산술-기하 평균(AGM)으로 계산합니다. 즉 \(a_0 = 1\), \(b_0 = \cos(\alpha/2)\)에서 출발해 \(a_{n+1} = (a_n + b_n)/2\)와 \(b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}\)를 두 값이 수렴할 때까지 반복한 뒤 \(K = \pi/(2 a_\infty)\)로 구합니다. 비율은 \((2/\pi)K(\sin(\alpha/2))\)로 간단해지는데, 진폭이 0이면 1이고 \(\alpha\)가 180°에 가까워질수록 무한히 커집니다.
계산 예시
\(l = 1\,\text{m}\), \(g = 9.80665\,\text{m/s}^2\)일 때: \(\sqrt{l/g} = 0.319330\)초이므로 \(T_0 = 2.006419\)초입니다. \(\alpha = 30°\)에서 \(k = \sin 15° = 0.258819\), \(K = 1.598142\)이므로 \(T = 2.041253\)초, 비율은 \(1.017362\)가 됩니다. 즉 소각도 추정값보다 약 1.74% 더 길며, 이는 교과서에 나오는 \(1 + \alpha^2/16\) 보정과 일치합니다.
자주 묻는 질문
진폭이 커지면 왜 주기가 늘어나나요? 복원 토크는 \(\theta\)가 아니라 \(\sin\theta\)에 비례합니다. 흔들림이 클수록 \(\sin\theta < \theta\)가 되어 실효 복원력이 약해지므로 한 주기에 걸리는 시간이 더 길어집니다.
왜 180° 직전에서 멈추나요? 정확히 180°에서는 진자가 불안정한 도립 지점에서 출발하게 되어 \(k = 1\)이 되고 \(K\)가 무한대로 발산합니다. 따라서 주기가 무한히 커지므로 표는 180° 직전에서 멈춥니다.
AGM은 정확한가요? AGM은 열 번 이내의 반복만으로 기계 정밀도까지 2차 수렴(quadratic convergence)하므로, 표에 표시된 값은 표시 자릿수 범위에서 정확합니다. 급수를 잘라 쓰는 방식보다 훨씬 우수합니다.
