계산 입력

결과

Small-angle period T₀ = 2π√(l/g)

2.006409

초 (진폭과 무관)

Amplitude α (°)	정확 주기 T (s)	Approx T₀ (s)	Ratio T/T₀
5	2.007365	2.006409	1.000476
10	2.010236	2.006409	1.001907
15	2.015038	2.006409	1.004301
20	2.021796	2.006409	1.007669
25	2.030548	2.006409	1.012031
30	2.041338	2.006409	1.017409
35	2.054229	2.006409	1.023833
40	2.069291	2.006409	1.031341
45	2.086612	2.006409	1.039973
50	2.106294	2.006409	1.049783
55	2.128458	2.006409	1.060829
60	2.153242	2.006409	1.073182
65	2.180811	2.006409	1.086922
70	2.211354	2.006409	1.102145
75	2.24509	2.006409	1.118959
80	2.282276	2.006409	1.137493
85	2.323211	2.006409	1.157895
90	2.368246	2.006409	1.180341
95	2.417797	2.006409	1.205037
100	2.472356	2.006409	1.232229
105	2.532513	2.006409	1.262212
110	2.598982	2.006409	1.29534
115	2.672637	2.006409	1.33205
120	2.75456	2.006409	1.372881
125	2.846117	2.006409	1.418513
130	2.949059	2.006409	1.469819
135	3.065688	2.006409	1.527948
140	3.199111	2.006409	1.594446
145	3.353671	2.006409	1.671479
150	3.535702	2.006409	1.762204
155	3.754993	2.006409	1.871499
160	4.027882	2.006409	2.007507
165	4.384894	2.006409	2.185444
170	4.89436	2.006409	2.439363
175	5.773771	2.006409	2.877664

As α → 180° the elliptic modulus k → 1 and the period diverges; the table stops just below 180°.

이 계산기는 무엇을 하나요

우리에게 익숙한 단진자 주기 공식 $T_0 = 2\pi\sqrt{l/g}$는 사실 흔들림이 아주 작을 때만 들어맞는 근사식입니다. 진폭이 커질수록 실제 진자는 이보다 더 느리게 흔들립니다. 이 도구는 제1종 완전 타원적분을 이용해 정확한 주기를 계산하고, 여러 진폭 각도에 걸쳐 소각도 근사값 및 두 값의 비율을 표로 나란히 보여줍니다.

사용 방법

끈의 길이 $l$(미터)과 중력가속도 $g$(m/s²)를 입력하세요(기본값 9.80665는 표준 중력가속도입니다). 진폭 간격은 5° 또는 10° 중에서 선택합니다. 결과에서는 진폭과 무관한 소각도 주기 $T_0$가 대표값으로 먼저 표시되고, 이어서 간격부터 180° 직전까지의 모든 진폭 $\alpha$에 대해 정확 주기 $T$와 비율 $T/T_0$가 한 줄씩 나옵니다.

공식 풀이

정확한 주기는 $$T = 4\sqrt{\frac{l}{g}}\cdot K(k)$$이며, 여기서 $k = \sin(\alpha/2)$는 타원 계수(modulus)이고 $$K(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}$$입니다. $K$는 빠르고 정확한 산술-기하 평균(AGM)으로 계산합니다. 즉 $a_0 = 1$, $b_0 = \cos(\alpha/2)$에서 출발해 $a_{n+1} = (a_n + b_n)/2$와 $b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}$를 두 값이 수렴할 때까지 반복한 뒤 $K = \pi/(2 a_\infty)$로 구합니다. 비율은 $(2/\pi)K(\sin(\alpha/2))$로 간단해지는데, 진폭이 0이면 1이고 $\alpha$가 180°에 가까워질수록 무한히 커집니다.

진폭이 커질수록 주기 비가 1 위로 상승하는 곡선, 소각 선은 1에서 수평 — 진폭이 커질수록 정확한 주기는 소각 값 T0보다 커진다.

받침점에서 흔들리는 진자로, 진폭각 alpha, 길이 l, 중력 g를 보여줌 — 중력 g 아래에서 진폭 alpha로 흔들리는 길이 l의 단진자.

계산 예시

$l = 1\,\text{m}$, $g = 9.80665\,\text{m/s}^2$일 때: $\sqrt{l/g} = 0.319330$초이므로 $T_0 = 2.006419$초입니다. $\alpha = 30°$에서 $k = \sin 15° = 0.258819$, $K = 1.598142$이므로 $T = 2.041253$초, 비율은 $1.017362$가 됩니다. 즉 소각도 추정값보다 약 1.74% 더 길며, 이는 교과서에 나오는 $1 + \alpha^2/16$ 보정과 일치합니다.

자주 묻는 질문

진폭이 커지면 왜 주기가 늘어나나요? 복원 토크는 $\theta$가 아니라 $\sin\theta$에 비례합니다. 흔들림이 클수록 $\sin\theta < \theta$가 되어 실효 복원력이 약해지므로 한 주기에 걸리는 시간이 더 길어집니다.

왜 180° 직전에서 멈추나요? 정확히 180°에서는 진자가 불안정한 도립 지점에서 출발하게 되어 $k = 1$이 되고 $K$가 무한대로 발산합니다. 따라서 주기가 무한히 커지므로 표는 180° 직전에서 멈춥니다.

AGM은 정확한가요? AGM은 열 번 이내의 반복만으로 기계 정밀도까지 2차 수렴(quadratic convergence)하므로, 표에 표시된 값은 표시 자릿수 범위에서 정확합니다. 급수를 잘라 쓰는 방식보다 훨씬 우수합니다.

진자 주기(정확값 vs 소각도) 비교표 계산기