這個計算器能做什麼
我們熟悉的單擺週期公式 \(T_0 = 2\pi\sqrt{l/g}\) 其實只是一個近似值，僅在擺幅極小時才成立。當釋放角度變大時，真實的單擺擺得更慢。本工具利用完整第一類橢圓積分計算出精確週期，並在一系列擺幅角度下，將它與小角度近似值以及兩者的比值並列成表，一目了然。
使用方法
輸入擺線長度 \(l\)（單位：公尺）與重力加速度 \(g\)（單位：m/s²，預設值 9.80665 為標準重力）。接著選擇擺幅角度的間距為 5° 或 10°。計算結果會先以醒目方式顯示固定不變的小角度週期 \(T_0\)，接著從間距值開始、一直列到接近 180° 之前，每一個擺幅 \(\alpha\) 都對應一列資料，呈現精確週期 \(T\) 以及比值 \(T/T_0\)。
公式說明
精確週期為 $$T = 4\sqrt{\frac{l}{g}}\cdot K(k)$$ 其中 \(k = \sin(\alpha/2)\) 為橢圓模數，而 $$K(k) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\phi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}}.$$ 我們以快速且精確的算術幾何平均法（AGM）來計算 \(K\)：令 \(a_0=1\)、\(b_0=\cos(\alpha/2)\)，反覆迭代 \(a_{n+1}=(a_n+b_n)/2\) 與 \(b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}\)，直到兩者收斂，最後得 \(K = \pi/(2a_\infty)\)。比值可化簡為 \((2/\pi)K(\sin(\alpha/2))\)，在擺幅為零時等於 1，並在 \(\alpha\) 趨近 180° 時發散至無窮大。
實例演算
取 \(l = 1\,\text{m}\)、\(g = 9.80665\,\text{m/s}^2\)：\(\sqrt{l/g} = 0.319330\,\text{s}\)，因此 \(T_0 = 2.006419\,\text{s}\)。當 \(\alpha = 30°\) 時，\(k = \sin 15° = 0.258819\)，\(K = 1.598142\)，得 \(T = 2.041253\,\text{s}\)，比值為 \(1.017362\) — 比小角度估算值約長 1.74%，恰好符合教科書中 \(1 + \alpha^2/16\) 的修正項。
常見問題
為什麼週期會隨擺幅增加？回復力矩正比於 \(\sin\theta\) 而非 \(\theta\)；擺幅較大時 \(\sin\theta < \theta\)，使得有效回復力變弱，因此每一個週期所需的時間更長。
為什麼表格在 180° 之前就停止？當擺幅剛好達到 180° 時，單擺正好從不穩定的倒立點出發，此時 \(k = 1\)，\(K\) 發散至無窮大，週期也因此無上限。所以表格只列到接近 180° 之前。
AGM 真的精確嗎？它以二次收斂速度逼近機器精度，通常不到十次迭代即可完成，因此表中數值在顯示精度範圍內都是精確的 — 遠勝於只取冪級數前幾項的近似做法。
