Ce que fait ce calculateur
La formule bien connue de la période d'un pendule simple, \(T_0 = 2\pi\sqrt{l/g}\), n'est qu'une approximation valable pour de trÚs faibles oscillations. DÚs que l'angle de lùcher devient important, le pendule réel oscille plus lentement. Cet outil calcule la période exacte à l'aide de l'intégrale elliptique complÚte de premiÚre espÚce, puis la présente dans un tableau aux cÎtés de la valeur petites oscillations et de leur rapport, pour une gamme d'angles d'amplitude.
Comment l'utiliser
Saisissez la longueur du fil l en mĂštres et l'accĂ©lĂ©ration de la pesanteur g en m/sÂČ (la valeur par dĂ©faut 9,80665 correspond Ă la pesanteur standard). Choisissez un pas d'amplitude de 5° ou de 10°. Le rĂ©sultat affiche d'abord la pĂ©riode petites oscillations \(T_0\), constante, comme valeur principale, puis une ligne pour chaque amplitude \(\alpha\), du pas choisi jusqu'Ă juste en dessous de 180°, avec la pĂ©riode exacte \(T\) et le rapport \(T/T_0\).
La formule expliquée
La pĂ©riode exacte vaut $$T = 4\sqrt{\frac{l}{g}}\cdot K(k)$$ oĂč \(k = \sin(\alpha/2)\) est le module elliptique et $$K(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}.$$ Nous Ă©valuons \(K\) par la moyenne arithmĂ©tico-gĂ©omĂ©trique (AGM), rapide et exacte : on part de \(a_0=1\), \(b_0=\cos(\alpha/2)\), on itĂšre \(a_{n+1}=(a_n+b_n)/2\) et \(b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}\) jusqu'Ă convergence, puis \(K = \pi/(2a_\infty)\). Le rapport se simplifie en \(\frac{2}{\pi}K(\sin(\alpha/2))\), qui vaut 1 Ă amplitude nulle et diverge lorsque \(\alpha\) approche 180°.
Exemple résolu
Pour l = 1 m et g = 9,80665 m/sÂČ : \(\sqrt{l/g} = 0{,}319330\) s, donc \(T_0 = 2{,}006419\) s. Ă \(\alpha = 30\degree\), \(k = \sin 15\degree = 0{,}258819\), \(K = 1{,}598142\), ce qui donne \(T = 2{,}041253\) s et un rapport de \(1{,}017362\) â soit environ 1,74 % de plus que l'estimation petites oscillations, en accord avec la correction classique \(1 + \alpha^2/16\) des manuels.
FAQ
Pourquoi la période augmente-t-elle avec l'amplitude ? Le couple de rappel est proportionnel à \(\sin\theta\), et non à \(\theta\) ; pour de grandes oscillations \(\sin\theta < \theta\), si bien que la force de rappel effective est plus faible et que chaque cycle dure plus longtemps.
Pourquoi s'arrĂȘte-t-il avant 180° ? Ă exactement 180°, le pendule part du point d'Ă©quilibre instable, Ă la verticale renversĂ©e : \(k = 1\) et \(K\) diverge vers l'infini, la pĂ©riode n'Ă©tant alors plus bornĂ©e. Le tableau s'arrĂȘte juste en dessous de 180°.
L'AGM est-elle exacte ? Elle converge quadratiquement vers la prĂ©cision machine en moins de dix itĂ©rations : les valeurs du tableau sont donc exactes Ă la prĂ©cision affichĂ©e â bien mieux qu'une troncature du dĂ©veloppement en sĂ©rie.
