Ce que fait ce calculateur
La formule bien connue de la période d'un pendule simple, \(T_0 = 2\pi\sqrt{l/g}\), n'est qu'une approximation valable pour de très faibles oscillations. Dès que l'angle de lâcher devient important, le pendule réel oscille plus lentement. Cet outil calcule la période exacte à l'aide de l'intégrale elliptique complète de première espèce, puis la présente dans un tableau aux côtés de la valeur petites oscillations et de leur rapport, pour une gamme d'angles d'amplitude.
Comment l'utiliser
Saisissez la longueur du fil l en mètres et l'accélération de la pesanteur g en m/s² (la valeur par défaut 9,80665 correspond à la pesanteur standard). Choisissez un pas d'amplitude de 5° ou de 10°. Le résultat affiche d'abord la période petites oscillations \(T_0\), constante, comme valeur principale, puis une ligne pour chaque amplitude \(\alpha\), du pas choisi jusqu'à juste en dessous de 180°, avec la période exacte \(T\) et le rapport \(T/T_0\).
La formule expliquée
La période exacte vaut $$T = 4\sqrt{\frac{l}{g}}\cdot K(k)$$ où \(k = \sin(\alpha/2)\) est le module elliptique et $$K(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}.$$ Nous évaluons \(K\) par la moyenne arithmético-géométrique (AGM), rapide et exacte : on part de \(a_0=1\), \(b_0=\cos(\alpha/2)\), on itère \(a_{n+1}=(a_n+b_n)/2\) et \(b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}\) jusqu'à convergence, puis \(K = \pi/(2a_\infty)\). Le rapport se simplifie en \(\frac{2}{\pi}K(\sin(\alpha/2))\), qui vaut 1 à amplitude nulle et diverge lorsque \(\alpha\) approche 180°.
Exemple résolu
Pour l = 1 m et g = 9,80665 m/s² : \(\sqrt{l/g} = 0{,}319330\) s, donc \(T_0 = 2{,}006419\) s. À \(\alpha = 30\degree\), \(k = \sin 15\degree = 0{,}258819\), \(K = 1{,}598142\), ce qui donne \(T = 2{,}041253\) s et un rapport de \(1{,}017362\) — soit environ 1,74 % de plus que l'estimation petites oscillations, en accord avec la correction classique \(1 + \alpha^2/16\) des manuels.
FAQ
Pourquoi la période augmente-t-elle avec l'amplitude ? Le couple de rappel est proportionnel à \(\sin\theta\), et non à \(\theta\) ; pour de grandes oscillations \(\sin\theta < \theta\), si bien que la force de rappel effective est plus faible et que chaque cycle dure plus longtemps.
Pourquoi s'arrête-t-il avant 180° ? À exactement 180°, le pendule part du point d'équilibre instable, à la verticale renversée : \(k = 1\) et \(K\) diverge vers l'infini, la période n'étant alors plus bornée. Le tableau s'arrête juste en dessous de 180°.
L'AGM est-elle exacte ? Elle converge quadratiquement vers la précision machine en moins de dix itérations : les valeurs du tableau sont donc exactes à la précision affichée — bien mieux qu'une troncature du développement en série.
