Qu'est-ce que le conjugué d'un nombre complexe ?
Le conjugué d'un nombre écrit sous forme algébrique \(z = a + bi\) s'obtient en changeant le signe de sa partie imaginaire : \(\overline{z} = a - bi\). La partie réelle reste inchangée tandis que la partie imaginaire est opposée. Géométriquement, le conjugué correspond au symétrique du point par rapport à l'axe réel (horizontal) du plan complexe.
Comment utiliser ce calculateur
Indiquez la partie rĂ©elle a et la partie imaginaire b de votre nombre complexe, puis lisez directement le conjuguĂ©. Les deux valeurs peuvent ĂȘtre positives, nĂ©gatives ou nulles, et les dĂ©cimales sont prises en charge. Le calculateur affiche Ă©galement le module \(|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\), qui reste identique aprĂšs conjugaison.
La formule expliquée
Si \(z = a + bi\), alors son conjuguĂ© vaut $$\overline{z} = a - bi$$ Une identitĂ© essentielle est que \(z \cdot \overline{z} = a^{2} + b^{2}\), un nombre rĂ©el positif ou nul â c'est prĂ©cisĂ©ment pourquoi on utilise les conjuguĂ©s pour rendre rationnels les dĂ©nominateurs et pour calculer le module. La conjugaison est aussi compatible avec l'addition et la multiplication : \(\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w}\).
Exemple détaillé
Prenons \(z = 3 + 4i\). Le conjugué oppose la partie imaginaire, ce qui donne \(\overline{z} = 3 - 4i\). Le module vaut $$\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ On remarque que les modules de \(z\) et de \(\overline{z}\) sont identiques.
FAQ
Quel est le conjugué d'un nombre réel ? Si \(b = 0\), le nombre est égal à son propre conjugué, car il n'y a aucune partie imaginaire à inverser.
Quel est le conjugué d'un nombre imaginaire pur ? Pour \(z = bi\), le conjugué est \(-bi\), c'est-à -dire le symétrique par rapport à l'axe réel.
La conjugaison modifie-t-elle la norme ? Non. On a toujours \(|z| = |\overline{z}|\), car l'élévation au carré supprime le signe de \(b\).
