Qu'est-ce que le conjugué d'un nombre complexe ?
Le conjugué d'un nombre écrit sous forme algébrique \(z = a + bi\) s'obtient en changeant le signe de sa partie imaginaire : \(\overline{z} = a - bi\). La partie réelle reste inchangée tandis que la partie imaginaire est opposée. Géométriquement, le conjugué correspond au symétrique du point par rapport à l'axe réel (horizontal) du plan complexe.
Comment utiliser ce calculateur
Indiquez la partie réelle a et la partie imaginaire b de votre nombre complexe, puis lisez directement le conjugué. Les deux valeurs peuvent être positives, négatives ou nulles, et les décimales sont prises en charge. Le calculateur affiche également le module \(|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\), qui reste identique après conjugaison.
La formule expliquée
Si \(z = a + bi\), alors son conjugué vaut $$\overline{z} = a - bi$$ Une identité essentielle est que \(z \cdot \overline{z} = a^{2} + b^{2}\), un nombre réel positif ou nul — c'est précisément pourquoi on utilise les conjugués pour rendre rationnels les dénominateurs et pour calculer le module. La conjugaison est aussi compatible avec l'addition et la multiplication : \(\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w}\).
Exemple détaillé
Prenons \(z = 3 + 4i\). Le conjugué oppose la partie imaginaire, ce qui donne \(\overline{z} = 3 - 4i\). Le module vaut $$\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ On remarque que les modules de \(z\) et de \(\overline{z}\) sont identiques.
FAQ
Quel est le conjugué d'un nombre réel ? Si \(b = 0\), le nombre est égal à son propre conjugué, car il n'y a aucune partie imaginaire à inverser.
Quel est le conjugué d'un nombre imaginaire pur ? Pour \(z = bi\), le conjugué est \(-bi\), c'est-à-dire le symétrique par rapport à l'axe réel.
La conjugaison modifie-t-elle la norme ? Non. On a toujours \(|z| = |\overline{z}|\), car l'élévation au carré supprime le signe de \(b\).
