¿Qué es el conjugado complejo?
El conjugado de un número escrito en forma binómica \(z = a + bi\) se obtiene cambiando el signo de su parte imaginaria: \(\overline{z} = a - bi\). La parte real se mantiene igual, mientras que la parte imaginaria se invierte. Desde el punto de vista geométrico, el conjugado es la reflexión del punto respecto al eje real (horizontal) del plano complejo.
Cómo usar esta calculadora
Introduce la parte real a y la parte imaginaria b de tu número complejo y obtendrás el conjugado al momento. Ambos valores pueden ser positivos, negativos o cero, y se admiten los decimales. La calculadora también te muestra el módulo \(|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\), que no cambia al conjugar.
La fórmula explicada
Si \(z = a + bi\), su conjugado es $$\overline{z} = a - bi$$ Una identidad fundamental es que \(z \cdot \overline{z} = a^{2} + b^{2}\), un número real y no negativo; por eso los conjugados se emplean para racionalizar denominadores y para calcular el módulo. Además, la conjugación se distribuye sobre la suma y el producto: \(\operatorname{conj}(z + w) = \operatorname{conj}(z) + \operatorname{conj}(w)\).
Ejemplo resuelto
Tomemos \(z = 3 + 4i\). El conjugado cambia el signo de la parte imaginaria, así que \(\overline{z} = 3 - 4i\). El módulo es $$\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ Fíjate en que el módulo de \(z\) y el de \(\overline{z}\) coinciden.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es el conjugado de un número real? Si \(b = 0\), el número coincide con su propio conjugado, ya que no hay parte imaginaria que invertir.
¿Cuál es el conjugado de un número imaginario puro? Para \(z = bi\), el conjugado es \(-bi\), la reflexión respecto al eje real.
¿Cambia el módulo al conjugar? No. Siempre se cumple que \(|z| = |\overline{z}|\), porque al elevar al cuadrado desaparece el signo de \(b\).
