सम्मिश्र संयुग्मी कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

वास्तविक भाग (a)

काल्पनिक भाग (b)

परिणाम

सम्मिश्र संयुग्मी

3 - 4i

conjugate of 3 + 4i

वास्तविक भाग	3
काल्पनिक भाग	-4
मापांक |z|	5

सम्मिश्र संयुग्मी क्या है?

आयताकार रूप में लिखी गई किसी संख्या \(z = a + bi\) का सम्मिश्र संयुग्मी उसके काल्पनिक भाग का चिह्न बदलकर प्राप्त किया जाता है: \(\overline{z} = a - bi\)। वास्तविक भाग वैसा ही रहता है, जबकि काल्पनिक भाग का चिह्न उलट जाता है। ज्यामितीय दृष्टि से, संयुग्मी सम्मिश्र तल के वास्तविक (क्षैतिज) अक्ष के परितः उस बिंदु का प्रतिबिंब होता है।

\(z = a + bi\) का संयुग्म वास्तविक अक्ष के परित: उसका दर्पण प्रतिबिंब है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

अपनी सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग a और काल्पनिक भाग b दर्ज करें, फिर उसका संयुग्मी देख लें। दोनों मान धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकते हैं, और दशमलव संख्याएँ भी मान्य हैं। यह कैलकुलेटर मापांक \(|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) भी बताता है, जो संयुग्मन से नहीं बदलता।

सूत्र की व्याख्या

यदि \(z = a + bi\) है, तो इसका संयुग्मी \(\overline{z} = a - bi\) होगा। एक महत्वपूर्ण सर्वसमिका यह है कि \(z \cdot \overline{z} = a^{2} + b^{2}\), जो एक वास्तविक, अऋणात्मक संख्या होती है — यही कारण है कि संयुग्मी का उपयोग हर का परिमेयकरण करने और मापांक निकालने में किया जाता है। संयुग्मन योग और गुणन पर भी वितरित होता है: conj(z + w) = conj(z) + conj(w)।

मापांक \(|z|\) मूल बिंदु से दूरी है, जो \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\) के बराबर है।

हल किया गया उदाहरण

मान लीजिए \(z = 3 + 4i\)। संयुग्मी काल्पनिक भाग का चिह्न बदल देता है, जिससे \(\overline{z} = 3 - 4i\) प्राप्त होता है। मापांक होगा $$\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ ध्यान दें कि \(z\) और \(\overline{z}\) दोनों के मापांक समान हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

किसी वास्तविक संख्या का संयुग्मी क्या होता है? यदि \(b = 0\) हो, तो संख्या अपने संयुग्मी के बराबर होती है, क्योंकि चिह्न बदलने के लिए कोई काल्पनिक भाग ही नहीं होता।

शुद्ध काल्पनिक संख्या का संयुग्मी क्या होता है? \(z = bi\) के लिए संयुग्मी \(-bi\) होता है, जो वास्तविक अक्ष के परितः उसका प्रतिबिंब है।

क्या संयुग्मन से परिमाण बदल जाता है? नहीं। \(|z| = |\overline{z}|\) हमेशा बराबर रहता है, क्योंकि वर्ग करने पर \(b\) का चिह्न समाप्त हो जाता है।