सम्मिश्र संयुग्मी और मापांक कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

सम्मिश्र संख्या z Rectangular (a+bi) or polar (r e^(θi), θ in radians).

सार्थक अंक 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

परिणाम

सम्मिश्र संयुग्मी

3 - 4i

conj(z) = a - bi

निरपेक्ष मान (मापांक)

5

|z| = sqrt(a² + b²)

वास्तविक भाग (a)	3
काल्पनिक भाग (b)	4

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल एक सम्मिश्र संख्या z लेता है और उसके दो बुनियादी मान निकालकर देता है: उसका सम्मिश्र संयुग्मी (complex conjugate) और उसका मापांक (modulus या निरपेक्ष मान)। आप z को आयताकार रूप में दर्ज कर सकते हैं, जैसे 3+4i, -2-5i, 7, या 4i, अथवा ध्रुवीय/घातांकी रूप में, जैसे 5e^(0.9273i) — जहाँ कोण रेडियन में दिया जाता है।

इसका उपयोग कैसे करें

दिए गए फ़ील्ड में अपनी सम्मिश्र संख्या टाइप करें और चुनें कि उत्तर में कितने सार्थक अंक (significant digits) दिखाए जाएँ (डिफ़ॉल्ट 10)। कैलकुलेटर वास्तविक भाग a और काल्पनिक भाग b को अलग करता है और फिर दोनों परिणाम निकालता है। सार्थक अंकों की सेटिंग केवल यह तय करती है कि उत्तर कैसे दिखे — इससे मूल गणना पर कोई फ़र्क नहीं पड़ता।

सूत्रों की व्याख्या

\(z = a + b\,i\) के लिए, संयुग्मी पाने हेतु काल्पनिक भाग का चिह्न बदल दिया जाता है: \(\operatorname{conj}(z) = a - b\,i\)। मापांक मूल बिंदु से बिंदु \((a, b)\) की पाइथागोरस दूरी है: \(|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\)।

$$\bar{z} = a - b\,i, \qquad |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$

ध्रुवीय रूप \(r\cdot e^{\theta i}\) वाली संख्या के लिए, पहले हम \(a = r\cdot\cos(\theta)\) और \(b = r\cdot\sin(\theta)\) से इसे आयताकार रूप में बदलते हैं।

z का संयुग्मी वास्तविक अक्ष के सापेक्ष उसका प्रतिबिंब है, जबकि मापांक \(r\) मूल बिंदु से दूरी है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए \(z = 3 + 4i\), यानी \(a = 3\) और \(b = 4\)। संयुग्मी में काल्पनिक भाग का चिह्न बदलने पर मिलता है \(3 - 4i\)। मापांक होगा

$$\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

ध्रुवीय इनपुट \(5e^{0.9273i}\) भी यही बिंदु देता है, क्योंकि \(5\cdot\cos(0.9273) \approx 3\) और \(5\cdot\sin(0.9273) \approx 4\)।

सामान्य प्रश्न (FAQ)

क्या मापांक कभी ऋणात्मक हो सकता है? नहीं। यह एक दूरी है, इसलिए यह हमेशा शून्य के बराबर या उससे अधिक होता है।

किसी वास्तविक संख्या का संयुग्मी क्या होता है? चूँकि \(b = 0\) होता है, इसलिए संयुग्मी उसी संख्या के बराबर होता है।

ध्रुवीय रूप में कोण किस इकाई में होता है? रेडियन में। उदाहरण के लिए, \(e^{3.14159i}\) लगभग \(-1\) के बराबर होता है।