कॉम्बिनेशन (nCr) कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

वस्तुओं की कुल संख्या (n)

चुनी गई संख्या (r)

Constraint: n ≥ r ≥ 0. Both must be non-negative integers.

परिणाम

कॉम्बिनेशन की संख्या (nCr)

6

ways to choose 2 from 4 (order ignored)

n (कुल वस्तुएँ)	4
r (चुनी गई)	2
संकेतन	C(4, 2)

कॉम्बिनेशन (nCr) कैलकुलेटर क्या है?

यह कैलकुलेटर कॉम्बिनेशन (संयोजन) की संख्या निकालता है — जिसे nCr, C(n, r) या "n में से r चुनें" लिखा जाता है। यह बताता है कि n अलग-अलग वस्तुओं के समूह में से r वस्तुएँ कितने तरीकों से चुनी जा सकती हैं, जब चुनने का क्रम मायने नहीं रखता। {A, B} चुनना और {B, A} चुनना एक ही कॉम्बिनेशन है। यही द्विपद गुणांक (बाइनॉमियल कोएफिशिएंट) है, जो कॉम्बिनेटरिक्स, प्रायिकता (प्रोबेबिलिटी) और सांख्यिकी का एक बुनियादी आधार है।

Combinations count the ways to choose r items from n distinct items when order does not matter.

इसका उपयोग कैसे करें

वस्तुओं की कुल संख्या n और जितनी चुननी हैं वह संख्या r दर्ज करें, फिर परिणाम देखें। दोनों मान ऋण-रहित (नॉन-नेगेटिव) पूर्णांक होने चाहिए, और r का मान n से अधिक नहीं हो सकता (यह पेज \(n \ge r \ge 0\) की शर्त लागू करता है)। यह कैलकुलेटर बड़े पूर्णांकों के लिए सटीक अंकगणित का उपयोग करता है, इसलिए बहुत बड़े परिणाम भी बिना गोलाई (राउंडिंग) के बिल्कुल सटीक रहते हैं।

सूत्र की व्याख्या

इसकी पारंपरिक परिभाषा है

$$C(n, r) = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$$

बहुत बड़े फैक्टोरियल निकालने से बचने के लिए यह टूल समरूपता नियम \(C(n, r) = C(n, n - r)\) के साथ स्थिर गुणात्मक रूप का प्रयोग करता है: \(k = \min(r, n - r)\) लें, 1 से शुरू करें, और \(i = 1..k\) के लिए बारी-बारी से \((n - k + i)\) से गुणा और \(i\) से भाग करते जाएँ। हर भाग बिल्कुल सटीक रहता है, इसलिए चलता हुआ मान हमेशा पूर्ण संख्या बना रहता है।

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The formula divides n! by r! and (n-r)! to remove ordering of both the chosen and unchosen items.

हल किया गया उदाहरण

4 पत्तों में से 2-पत्तों के कितने हाथ बन सकते हैं?

$$C(4, 2) = \frac{4!}{2!\,\cdot\,2!} = \frac{24}{4} = \mathbf{6}$$

एक लॉटरी उदाहरण: 49 संख्याओं में से 6 चुनने पर \(C(49, 6) = 13{,}983{,}816\) अलग-अलग टिकट बनते हैं — यही कारण है कि जैकपॉट जीतने की संभावना इतनी कम होती है।

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Several ordered arrangements (permutations) collapse into a single combination since order is ignored.

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

कॉम्बिनेशन और परम्यूटेशन में क्या अंतर है? कॉम्बिनेशन में क्रम मायने नहीं रखता; परम्यूटेशन में क्रम गिना जाता है। \(nPr = nCr \cdot r!\), इसलिए समान n और r के लिए परम्यूटेशन की संख्या हमेशा कॉम्बिनेशन के बराबर या उससे अधिक होती है।

\(C(n, 0)\) या \(C(n, n)\) का मान क्या होता है? दोनों का मान 1 होता है: कुछ भी न चुनने का ठीक एक तरीका है, और सब कुछ चुनने का भी ठीक एक तरीका है।

क्या r का मान n से बड़ा हो सकता है? नहीं। जितनी वस्तुएँ मौजूद हैं उससे अधिक नहीं चुनी जा सकतीं, इसलिए जब \(r > n\) हो तो \(C(n, r) = 0\) होता है; यह कैलकुलेटर ऐसी स्थिति को अमान्य मानकर 0 लौटाता है।