कॉम्बिनेशन कैलकुलेटर क्या है?
कॉम्बिनेशन का मतलब है किसी बड़े समूह में से कुछ वस्तुओं को इस तरह चुनना कि उनका क्रम मायने न रखे और कोई वस्तु दोहराई न जाए। यह कैलकुलेटर nCr निकालता है — यानी n अलग-अलग वस्तुओं के समूह में से r आकार के कितने अलग-अलग समूह बनाए जा सकते हैं। यह कॉम्बिनेटोरिक्स, प्रायिकता (probability), लॉटरी विश्लेषण और सांख्यिकी का एक बुनियादी उपकरण है।
इसका उपयोग कैसे करें
वस्तुओं की कुल संख्या n और जितनी आप चुनना चाहते हैं वह संख्या r दर्ज करें। कैलकुलेटर तुरंत बता देगा कि कितने अनोखे कॉम्बिनेशन संभव हैं। ध्यान रखें कि r, n से बड़ा नहीं होना चाहिए; मौजूद वस्तुओं से ज़्यादा चुनना परिभाषित नहीं है और इसका परिणाम शून्य आता है।
फॉर्मूला समझें
कॉम्बिनेशन की संख्या इस सूत्र से मिलती है:
$$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,\left(n - r\right)!}$$यहाँ "!" का अर्थ है फैक्टोरियल (उस संख्या तक के सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल)। \(r!\) और \((n-r)!\) दोनों से भाग देने पर वे दोहराए गए क्रम हट जाते हैं जिन्हें परम्यूटेशन में गिना जाता है, क्योंकि कॉम्बिनेशन में क्रम का कोई महत्व नहीं होता। बड़ी संख्याओं के लिए सटीकता बनाए रखने के लिए यह उपकरण सीधे विशाल फैक्टोरियल निकालने के बजाय गुणनात्मक (multiplicative) तरीके का उपयोग करता है।
हल किया गया उदाहरण
5 छात्रों की एक कक्षा में से 3 छात्रों को कितने तरीकों से चुना जा सकता है? सूत्र के अनुसार:
$$\frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10$$यानी 3 लोगों की 10 संभव टीमें बन सकती हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
कॉम्बिनेशन और परम्यूटेशन में क्या अंतर है? परम्यूटेशन में क्रम मायने रखता है (AB ≠ BA), जबकि कॉम्बिनेशन में नहीं (AB = BA)। एक ही \(n\) और \(r\) के लिए परम्यूटेशन की संख्या हमेशा कॉम्बिनेशन के बराबर या उससे ज़्यादा होती है।
nC0 या nCn क्या होता है? दोनों का मान 1 होता है — कुछ न चुनने का ठीक एक तरीका है, और सब कुछ चुनने का भी ठीक एक तरीका।
क्या इसमें वस्तुएँ दोहराई जा सकती हैं? नहीं। यह बिना दोहराव वाले कॉम्बिनेशन हैं, यानी हर वस्तु को ज़्यादा से ज़्यादा एक बार ही चुना जा सकता है।
