조합 계산기란?
조합이란 더 큰 집합에서 항목을 골라내되 순서를 따지지 않고 같은 항목을 중복해서 뽑지 않는 선택 방법을 말합니다. 이 계산기는 nCr, 즉 서로 다른 n개의 항목에서 r개로 이루어진 서로 다른 그룹을 몇 가지나 만들 수 있는지를 계산합니다. 조합론, 확률, 복권 분석, 통계 등에서 빠질 수 없는 핵심 도구입니다.
사용 방법
전체 항목의 개수 n과 선택할 개수 r을 입력하세요. 그러면 가능한 조합의 수가 즉시 표시됩니다. 단, \(r\)은 \(n\)보다 클 수 없습니다. 존재하는 개수보다 더 많이 뽑는 경우는 정의되지 않으며, 결과는 0이 됩니다.
공식 풀이
조합의 수는 다음 식으로 구합니다.
$$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,\left(n - r\right)!}$$여기서 "!"는 팩토리얼로, 해당 숫자까지의 모든 양의 정수를 곱한 값입니다. \(r!\)과 \((n-r)!\)로 나누는 이유는, 조합에서는 순서가 의미가 없기 때문에 순열에서 따로 세어지는 중복된 배열들을 제거하기 위함입니다. 큰 수에서도 정확도를 유지하기 위해, 이 도구는 거대한 팩토리얼을 직접 계산하는 대신 곱셈 형태(multiplicative form)를 사용합니다.
예제 풀이
5명으로 이루어진 학급에서 3명을 뽑는 방법은 몇 가지일까요? 공식에 대입하면 $$\frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = \mathbf{10}.$$ 따라서 3명으로 구성된 팀은 총 10가지가 가능합니다.
자주 묻는 질문
조합과 순열은 무엇이 다른가요? 순열에서는 순서가 중요합니다(AB ≠ BA). 반면 조합에서는 순서가 중요하지 않습니다(AB = BA). 같은 \(n\)과 \(r\)에 대해 순열의 수는 항상 조합의 수보다 크거나 같습니다.
nC0이나 nCn은 얼마인가요? 둘 다 1입니다. 아무것도 뽑지 않는 방법이 단 한 가지이고, 전부 다 뽑는 방법도 단 한 가지이기 때문입니다.
같은 항목을 중복해서 뽑을 수 있나요? 아니요. 이 계산기는 중복을 허용하지 않는 조합으로, 각 항목은 많아야 한 번만 선택할 수 있습니다.
