Что такое калькулятор сочетаний?
Сочетание — это выбор нескольких элементов из большего набора, при котором порядок не имеет значения, а элементы не повторяются. Этот калькулятор вычисляет nCr — количество различных групп размера r, которые можно составить из набора n разных элементов. Это базовый инструмент комбинаторики, теории вероятностей, анализа лотерей и статистики.
Как пользоваться
Укажите общее число элементов n и количество элементов, которые нужно выбрать r. Калькулятор моментально покажет, сколько уникальных сочетаний возможно. Учтите, что r не должно превышать n: выбрать больше элементов, чем есть в наборе, невозможно — в этом случае результат будет равен нулю.
Разбор формулы
Число сочетаний определяется формулой:
$$C(n, r) = \binom{\text{n}}{\text{r}} = \frac{\text{n}!}{\text{r}!\,\left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$
Здесь «!» обозначает факториал — произведение всех натуральных чисел до данного включительно. Деление и на \(r!\), и на \((n-r)!\) убирает повторяющиеся варианты с разным порядком, которые учитывались бы при подсчёте размещений, ведь в сочетании порядок не важен. Чтобы сохранять точность при больших значениях, калькулятор использует мультипликативную форму вместо прямого вычисления огромных факториалов.
Пример с решением
Сколькими способами можно выбрать 3 учеников из класса в 5 человек? Подставляем в формулу: $$\frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10.$$ Итак, можно составить 10 различных команд по 3 человека.
Частые вопросы
Чем сочетания отличаются от размещений (перестановок)? В размещениях порядок важен (АБ ≠ БА), а в сочетаниях — нет (АБ = БА). При одинаковых n и r число размещений всегда больше либо равно числу сочетаний.
Чему равны nC0 и nCn? Оба равны 1 — есть ровно один способ не выбрать ничего и ровно один способ выбрать всё.
Учитываются ли повторяющиеся элементы? Нет. Это сочетания без повторений: каждый элемент можно выбрать не более одного раза.
