組み合わせ計算ツールとは？
「組み合わせ」とは、より大きな集合の中からいくつかの要素を選ぶことを指し、その際に選ぶ順序は区別しません。また、同じ要素を重複して選ぶこともありません。このツールは nCr、つまり異なる n 個の要素から大きさ r のグループを何通り作れるかを計算します。場合の数（組合せ論）、確率、宝くじの分析、統計など、幅広い分野で使われる基本的なツールです。
使い方
要素の総数 n と、その中から選びたい個数 r を入力してください。ツールが組み合わせの総数を瞬時に表示します。なお、r は n 以下である必要があります。存在する数より多く選ぶことは定義されておらず、その場合は 0 を返します。
公式の解説
組み合わせの数は次の式で求められます。
$$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,\left(n - r\right)!}$$
ここで「!」は階乗を表し、その数までのすべての正の整数を掛け合わせたものです。\(r!\) と \((n-r)!\) の両方で割ることで、順列なら数えてしまう「並べ替えによる重複」を取り除いています。組み合わせでは順序は関係ないためです。大きな数でも正確に計算できるよう、このツールでは巨大な階乗をそのまま計算するのではなく、乗算による効率的な方法を採用しています。
計算例
5 人のクラスから 3 人を選ぶ方法は何通りあるでしょうか？ 公式に当てはめると、$$5! \div (3! \times 2!) = 120 \div (6 \times 2) = 120 \div 12 = 10$$ となります。つまり、3 人組のチームは 10 通り作れます。
よくある質問
組み合わせと順列の違いは何ですか？ 順列では順序が区別されます（AB ≠ BA）が、組み合わせでは区別されません（AB = BA）。同じ \(n\) と \(r\) では、順列の数は常に組み合わせの数以上になります。
nC0 や nCn はいくつになりますか？ どちらも 1 です。「何も選ばない」方法は 1 通り、「すべてを選ぶ」方法も 1 通りだけだからです。
同じ要素を重複して選べますか？ いいえ。これは「重複なし」の組み合わせで、各要素は最大でも 1 回しか選べません。
