重複なしの組み合わせとは？
重複なしの組み合わせとは、異なるn個のものの中からr個を選んだとき、選ぶ順番を考えず、同じものを2回以上選ばない場合の「異なるグループの総数」を表します。たとえば「ポーカーで配られる5枚の手札は何通りあるか」「10人から3人の委員を選ぶ方法は何通りあるか」といった問いに答えるのがこの組み合わせの考え方です。
この計算ツールの使い方
選べるものの総数をnに、選びたい個数をrに入力してください。入力すると同時に、組み合わせの数 \(C(n, r)\) が表示されます。なお、rはnを超えることはできません。もしrがnより大きい場合、存在する以上の個数は選べないため、結果は0になります。
公式の解説
公式は $$C(n, r) = \frac{\text{n}!}{\text{r}!\,\left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$ です。「!」は階乗を表し、その数までのすべての正の整数を掛け合わせたものを意味します。分子の \(n!\) はすべての並べ方（順列）を数えており、\(r!\) で割ることで選んだグループ内の並び順の違いをなくし、\((n - r)!\) で割ることで選ばれなかったもの同士の並び順の違いをなくしています。大きな数でも正確に計算できるよう、このツールは巨大な階乗を直接求めるのではなく、繰り返し計算で結果を導いています。
計算例
5種類のトッピングから2種類を選ぶ方法は何通りでしょうか？ $$C(5, 2) = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = \frac{120}{12} = \mathbf{10}$$ トッピングの組み合わせは10通りあります。
よくある質問（FAQ）
組み合わせと順列の違いは？ 順列は順番を区別します（AB ≠ BA）が、組み合わせは順番を区別しません（AB = BA）。そのため、組み合わせの数は常に順列の数以下になります。
C(n, 0) はいくつ？ 答えは1です。「何も選ばない」という選び方がちょうど1通り存在するためです。
「重複なし」はここで重要ですか？ はい。重複なしとは、各要素が1つのグループの中に最大1回しか現れないことを意味します。これは一般的なnCr（コンビネーション）の前提であり、この計算ツールが扱うのもまさにこのケースです。
