ما المقصود بالتوافيق بدون تكرار؟
التوافيق بدون تكرار هي عدد المجموعات المختلفة التي يمكنك تكوينها عند اختيار r من العناصر من بين مجموعة تضم n عنصرًا متمايزًا، شريطة ألا يهمّ ترتيب الاختيار وألا يُختار العنصر نفسه أكثر من مرة. وهي تجيب عن أسئلة مثل: «كم عدد أيدي البوكر الممكنة المكوّنة من 5 أوراق؟» أو «بكم طريقة يمكن تشكيل لجنة من 3 أشخاص من بين 10؟»
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل العدد الإجمالي للعناصر المتاحة في الخانة n، وعدد العناصر التي تريد اختيارها في الخانة r. تعرض الحاسبة فورًا قيمة \(C(n, r)\)، أي عدد التوافيق الفريدة. لاحظ أن \(r\) لا يمكن أن تتجاوز \(n\)؛ وإذا تجاوزتها فستكون النتيجة 0، لأنه يستحيل اختيار عناصر أكثر من العدد المتوفر فعلًا.
شرح القانون
القانون هو $$C(n, r) = \frac{\text{n}!}{\text{r}!\,\left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$ حيث ترمز العلامة «!» إلى المضروب (وهو حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة حتى ذلك العدد). يحسب البسط \(n!\) كل ترتيب ممكن للعناصر، أما القسمة على \(r!\) فتزيل الترتيبات داخل المجموعة المختارة، والقسمة على \((n - r)!\) تزيل ترتيبات العناصر المتبقية خارج المجموعة. وللحفاظ على الدقة مع الأعداد الكبيرة، تحسب هذه الأداة النتيجة بطريقة تكرارية بدلًا من حساب المضروبات الضخمة مباشرة.
مثال محلول
بكم طريقة يمكنك اختيار إضافتين (toppings) من بين 5؟ $$C(5, 2) = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = \frac{120}{12} = 10$$ أي أن هناك 10 أزواج مختلفة من الإضافات.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين التوافيق والتباديل؟ التباديل يأخذ الترتيب في الحسبان (AB ≠ BA)، بينما التوافيق لا تكترث بالترتيب (AB = BA). ولذلك يكون عدد التوافيق دائمًا أقل من عدد التباديل أو مساويًا له.
كم تساوي \(C(n, 0)\)؟ تساوي 1 — إذ توجد طريقة واحدة فقط لاختيار لا شيء.
هل لعبارة «بدون تكرار» أهمية هنا؟ نعم. «بدون تكرار» تعني أن كل عنصر يظهر مرة واحدة على الأكثر في المجموعة، وهذا هو سيناريو nCr القياسي الذي تحلّه هذه الحاسبة.
