중복 없는 조합이란?
중복 없는 조합이란 서로 다른 n개의 원소로 이루어진 집합에서 r개를 골랐을 때 만들 수 있는 서로 다른 그룹의 개수를 뜻합니다. 이때 뽑는 순서는 따지지 않으며, 같은 원소를 두 번 이상 고를 수도 없습니다. 예를 들어 "포커에서 5장으로 만들 수 있는 패는 몇 가지인가?" 혹은 "10명 중 3명으로 위원회를 구성하는 방법은 몇 가지인가?" 같은 질문에 답하는 개념입니다.
계산기 사용 방법
전체 원소의 개수를 n에, 뽑고자 하는 원소의 개수를 r에 입력하세요. 계산기가 곧바로 서로 다른 조합의 수인 \(C(n, r)\)를 알려 줍니다. 단, \(r\)은 \(n\)보다 클 수 없습니다. 존재하는 개수보다 많이 뽑을 수는 없으므로, \(r\)이 \(n\)을 넘으면 결과는 0이 됩니다.
공식 풀이
공식은 다음과 같습니다.
$$C(n, r) = \frac{\text{n}!}{\text{r}!\,\left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$여기서 "!"는 팩토리얼을 뜻하며, 1부터 그 수까지 모든 양의 정수를 곱한 값입니다. 분자 \(n!\)은 모든 순서를 고려한 배열의 수이고, \(r!\)로 나누면 뽑은 그룹 안에서의 순서 차이가 사라지며, \((n - r)!\)로 나누면 선택하지 않고 남겨 둔 원소들의 순서 차이가 제거됩니다. 큰 수에서도 정확도를 유지하기 위해, 이 도구는 거대한 팩토리얼을 직접 계산하지 않고 반복적인 방식으로 결과를 구합니다.
예제로 알아보기
5가지 토핑 중에서 2가지를 고르는 방법은 몇 가지일까요?
$$C(5, 2) = \frac{5!}{2!\cdot 3!} = \frac{120}{2\cdot 6} = \frac{120}{12} = \mathbf{10}$$즉, 서로 다른 토핑 조합이 10가지 존재합니다.
자주 묻는 질문
조합과 순열은 어떻게 다른가요? 순열은 순서를 따집니다(AB ≠ BA). 반면 조합은 순서를 따지지 않습니다(AB = BA). 그래서 조합의 수는 항상 순열의 수보다 작거나 같습니다.
\(C(n, 0)\)은 얼마인가요? 1입니다. 아무것도 고르지 않는 방법은 정확히 한 가지뿐이기 때문입니다.
"중복 없음"이 여기서 중요한가요? 네. 중복이 없다는 것은 한 그룹 안에 같은 원소가 최대 한 번만 등장할 수 있다는 뜻으로, 이 계산기가 다루는 표준적인 nCr 상황입니다.
