조합이란?
조합은 더 큰 집합에서 일부 항목을 골라낼 때 선택 순서를 따지지 않는 경우의 수를 세는 것입니다. 사과, 바나나, 체리를 고른 것과 체리, 사과, 바나나를 고른 것은 같은 조합으로 봅니다. 이를 \(C(n, r)\), "n개 중 r개 선택", 또는 이항계수라고 표기합니다. 이 계산기는 모든 자연수에 적용되며, 특정 국가의 규칙과 무관한 순수 수학 도구이므로 어디서나 그대로 사용할 수 있습니다.
계산기 사용법
전체 항목의 개수를 n에, 고르고 싶은 개수를 r에 입력하세요. 계산기는 서로 다른 조합의 수를 알려주며, 덤으로 순서를 따지는 순열 \(P(n, r)\)의 값도 함께 보여줍니다. 만약 \(r\)이 \(n\)보다 크면 존재하는 것보다 더 많이 고를 수는 없으므로 결과는 0이 됩니다.
공식 풀어보기
조합 공식은 $$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,\left(n - r\right)!}$$ 이며, 여기서 "!"는 계승(팩토리얼)을 뜻합니다. 분자 \(n!\)은 전체 집합의 모든 배열을 세고, \((n - r)!\)로 나누어 고르지 않은 항목을 제거하며, \(r!\)로 나누어 고른 항목들의 중복된 순서를 없앱니다. 그 결과 서로 다른 조합만 남게 됩니다. 이 계산기는 거대한 팩토리얼 계산을 피하고 수치 안정성을 높이기 위해 항을 하나씩 곱해 나가는 방식을 사용합니다.
예제로 풀어보기
52장의 카드 한 벌에서 5장으로 만들 수 있는 포커 패는 몇 가지일까요? 여기서 \(n = 52\), \(r = 5\)입니다. $$C(52, 5) = \frac{52!}{5!\,\cdot\,47!} = \frac{52\cdot51\cdot50\cdot49\cdot48}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1} = \frac{311{,}875{,}200}{120} = 2{,}598{,}960$$ 2,598,960가지의 패가 나옵니다.
자주 묻는 질문
조합과 순열의 차이는 무엇인가요? 순열은 순서를 따져 배열의 수를 세고, 조합은 순서를 무시합니다. 순열의 수는 항상 조합의 수보다 크거나 같습니다.
\(C(n, 0)\)은 얼마인가요? 1입니다. 아무것도 고르지 않는 방법(공집합)은 정확히 한 가지뿐이기 때문입니다.
왜 \(C(n, r) = C(n, n - r)\)인가요? 포함할 \(r\)개를 고르는 것은 제외할 \(n - r\)개를 고르는 것과 같으므로 두 경우의 수가 일치합니다.
