¿Qué es una combinación?
Una combinación cuenta de cuántas maneras puedes seleccionar un grupo de elementos de un conjunto más grande cuando el orden de selección no importa. Elegir manzanas, plátanos y cerezas es exactamente la misma combinación que elegir cerezas, manzanas y plátanos. Se representa como \(C(n, r)\), «n sobre r» o el coeficiente binomial. Esta calculadora funciona con cualquier número entero y se aplica de forma universal: es matemática pura, sin supuestos propios de ningún país.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el número total de elementos disponibles como n y la cantidad que quieres elegir como r. La herramienta te devuelve el número de combinaciones distintas y, como extra, el número de permutaciones \(P(n, r)\), en las que el orden sí importa. Si \(r\) es mayor que \(n\), el resultado es cero, porque no puedes elegir más elementos de los que existen.
La fórmula explicada
La fórmula de las combinaciones es $$C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,\left(n - r\right)!}$$ donde «!» representa el factorial. El numerador \(n!\) cuenta todas las ordenaciones del conjunto completo; al dividir entre \((n - r)!\) eliminamos los elementos que no escogiste, y al dividir entre \(r!\) descartamos las ordenaciones repetidas de los elementos que sí elegiste, dejando únicamente los grupos únicos. Para evitar factoriales enormes, esta calculadora multiplica el cociente término a término, lo que garantiza estabilidad numérica.
Ejemplo resuelto
¿Cuántas manos de póquer de 5 cartas salen de una baraja de 52 cartas? Aquí \(n = 52\) y \(r = 5\). $$C(52, 5) = \frac{52!}{5! \cdot 47!} = \frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{311{.}875{.}200}{120} = 2{.}598{.}960$$ manos posibles.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre una combinación y una permutación? Una permutación cuenta las disposiciones ordenadas; una combinación ignora el orden. Las permutaciones siempre son mayores o iguales que las combinaciones.
¿Cuánto vale \(C(n, 0)\)? Es igual a 1: existe exactamente una forma de no elegir nada (el conjunto vacío).
¿Por qué \(C(n, r) = C(n, n - r)\)? Elegir qué \(r\) elementos incluir equivale a elegir qué \(n - r\) elementos dejar fuera, así que ambos recuentos coinciden.
