¿Qué es una combinación con repetición?
Una combinación con repetición, conocida en inglés como «multichoose», cuenta de cuántas maneras se pueden elegir r elementos entre n tipos distintos cuando el orden no importa y está permitido escoger el mismo tipo más de una vez. Cada resultado es un multiconjunto: por ejemplo, al pedir 2 bolas de helado entre 3 sabores admitiendo repeticiones, obtienes opciones como {vainilla, vainilla} o {vainilla, chocolate}.
Cómo usar la calculadora
Introduce \(n\), la cantidad de objetos o tipos distintos entre los que elegir, y \(r\), el tamaño de la muestra que quieres tomar. Ambos deben ser números enteros no negativos. Pulsa calcular y la herramienta te devuelve \(C^R(n,r)\), el número de multiconjuntos distintos de tamaño \(r\).
La fórmula explicada
El total coincide con el coeficiente binomial \(C(n + r - 1, r)\), que se desarrolla como $$C^R(n, r) = \binom{n + r - 1}{r} = \frac{(n + r - 1)!}{r!\,(n - 1)!}$$ Es el clásico resultado de «estrellas y barras»: repartir \(r\) estrellas idénticas en \(n\) cajas separadas por \(n - 1\) barras. Para evitar el desbordamiento de los factoriales, la calculadora va multiplicando el producto acumulado por \((n - 1 + i)\) y dividiéndolo entre \(i\), para \(i\) de 1 a \(r\). $$C^R(n,r) = \prod_{i=1}^{r} \frac{n - 1 + i}{i}$$
Ejemplo resuelto
Para \(n = 10\) y \(r = 3\): $$C^R(10,3) = C(12,3) = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = \frac{1320}{6} = 220$$ Por tanto, hay 220 formas de elegir 3 elementos entre 10 tipos permitiendo repetir.
Preguntas frecuentes
¿En qué se diferencia de una combinación normal? Una combinación normal \(C(n,r)\) no admite repeticiones; la combinación con repetición sí permite elegir el mismo elemento varias veces, de modo que el resultado suele ser mayor.
¿Qué pasa si r = 0? Solo hay una forma de no elegir nada, así que \(C^R(n,0) = 1\) para cualquier \(n \geq 1\).
¿Y si n = 0? Sin elementos y con \(r > 0\) el resultado es 0; el caso vacío \(n = 0\), \(r = 0\) vale 1 por convención.
