什么是可重复组合？
可重复组合（英文常称 "multichoose"，即多重选择）指的是：从 n 种不同类型中选取 r 个，选取顺序无关紧要，并且允许同一种类型被多次选中时，一共有多少种选法。每一种结果都是一个"多重集"。举个例子：从 3 种口味中挑 2 球冰激凌，允许重复，那么 {香草, 香草}、{香草, 巧克力} 都是合法的选法。
如何使用本计算器
填入 \(n\)（可供选择的不同对象或类型的数量）和 \(r\)（你想抽取的样本数量）。两者都必须是非负整数。点击"计算"，工具就会返回 \(C^R(n,r)\)，也就是大小为 \(r\) 的不同多重集的数量。
公式详解
该数量等于二项式系数 \(C(n + r - 1, r)\)，展开后为 \(\frac{(n + r - 1)!}{r!\,(n - 1)!}\)。这正是经典的"隔板法"（stars and bars）结论：把 \(r\) 颗相同的星号分配到由 \(n - 1\) 块隔板分隔的 \(n\) 个格子里。
$$C^R(n, r) = \binom{n + r - 1}{r} = \frac{(n + r - 1)!}{r!\,(n - 1)!}$$为避免阶乘溢出，计算器在 \(i\) 从 1 到 \(r\) 的循环中，每次把当前乘积乘以 \((n - 1 + i)\) 再除以 \(i\)。
$$C^R(n,r) = \prod_{i=1}^{r} \frac{n - 1 + i}{i}$$
实例演算
取 \(n = 10\)、\(r = 3\)：
$$C^R(10,3) = \binom{12}{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = \frac{1320}{6} = 220$$也就是说，在允许重复的情况下，从 10 种类型中选取 3 个共有 220 种方案。
常见问题
它和普通组合有什么区别？ 普通组合 \(C(n,r)\) 不允许重复；而可重复组合允许同一项被多次选中，因此结果通常会更大。
如果 r = 0 怎么办？ "什么都不选"恰好只有一种方式，所以对任意 \(n \geq 1\)，都有 \(C^R(n,0) = 1\)。
如果 n = 0 怎么办？ 当没有任何可选项且 \(r > 0\) 时，结果为 0；而 \(n = 0\)、\(r = 0\) 这种空情形，按惯例约定结果为 1。
