Tekrarlı kombinasyon nedir?
Çoğu zaman "multichoose" olarak da anılan tekrarlı kombinasyon, n farklı türden r öğeyi seçme sayısını ifade eder; burada seçim sırası önemli değildir ve aynı türü birden fazla kez seçmenize izin verilir. Her sonuç bir çoklu kümedir (multiset): örneğin 3 dondurma çeşidinden 2 top seçtiğinizde ve tekrara izin verildiğinde {vanilya, vanilya} ya da {vanilya, çikolata} gibi seçimler ortaya çıkar.
Hesaplama aracı nasıl kullanılır?
Seçim yapacağınız farklı nesne ya da tür sayısı olan \(n\) değerini ve çekmek istediğiniz örneklem boyutu olan \(r\) değerini girin. Her ikisi de negatif olmayan tam sayı olmalıdır. Hesapla düğmesine bastığınızda araç, \(r\) boyutundaki farklı çoklu kümelerin sayısı olan \(C^R(n,r)\) değerini verir.
Formülün açıklaması
Bu sayı, \(C(n + r - 1, r)\) binom katsayısına eşittir ve açılımı şeklindedir:
$$C^R(n, r) = \binom{n + r - 1}{r} = \frac{(n + r - 1)!}{r!\,(n - 1)!}$$Bu, klasik "yıldızlar ve çubuklar" (stars and bars) sonucudur: \(r\) adet özdeş yıldızı, \(n - 1\) çubukla ayrılmış \(n\) bölmeye dağıtmaktır. Faktöriyel taşmasını önlemek için araç, çalışan çarpımı \(i = 1\)'den \(r\)'ye kadar \((n - 1 + i)\) ile çarpar ve \(i\)'ye böler.
$$C^R(n,r) = \prod_{i=1}^{r} \frac{n - 1 + i}{i}$$
Çözümlü örnek
\(n = 10\) ve \(r = 3\) için:
$$C^R(10,3) = C(12,3) = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = \frac{1320}{6} = 220$$Yani 10 türden 3 öğeyi tekrara izin vererek seçmenin 220 farklı yolu vardır.
Sıkça sorulan sorular
Bu, normal kombinasyondan nasıl farklıdır? Normal kombinasyon \(C(n,r)\) tekrara izin vermez; tekrarlı kombinasyonda ise aynı öğe birden fazla kez seçilebilir, bu nedenle sonuç genellikle daha büyüktür.
r = 0 olursa ne olur? Hiçbir şey seçmemenin tam olarak bir yolu vardır, bu yüzden \(n \geq 1\) olan her durumda \(C^R(n,0) = 1\)'dir.
n = 0 olursa ne olur? Hiç öğe yokken ve \(r > 0\) iken sonuç 0'dır; boş durum olan \(n = 0, r = 0\) ise kabul gereği 1'e eşittir.
