Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, kombinatoriğin temel sorusunu yanıtlar: n farklı nesneden oluşan bir kümeden r elemanlık bir örneklemi kaç farklı şekilde seçebilir ya da sıralayabilirsiniz? İki temel evet/hayır tercihiyle tanımlanan dört örneklem seçim durumunun tümünü kapsar — sıralama önemli mi ve tekrara izin var mı? Buna ek olarak bağımsız sayımları da hesaplar: faktöriyel, çift ve tek permütasyonlar ve dairesel permütasyonlar. Sonuçların hepsi birimsiz bir sayımdır, dolayısıyla herhangi bir birim ya da dönüşüm söz konusu değildir.
Dört örneklem seçim durumu
Kombinasyonlar (sıra önemsiz, tekrar yok): $${}_nC_r = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$$ Permütasyonlar (sıra önemli, tekrar yok): $${}_nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$$ Tekrarlı kombinasyonlar (sıra önemsiz, tekrar var): $$CR(n,r) = C(n+r-1, r)$$ Tekrarlı permütasyonlar (sıra önemli, tekrar var): $$PR(n,r) = n^r$$ Tekrarsız durumlarda \(r\) değeri \(n\)'den büyükse sonuç \(0\) olur; çünkü var olandan daha fazla öğe seçemezsiniz.
Bağımsız sayımlar
Faktöriyel \(n! = n(n-1)\ldots 2 \cdot 1\) şeklindedir ve \(0! = 1\) kabul edilir. Çift permütasyonlar = \(n \geq 2\) için \(n!/2\) (alterne grubun eleman sayısı). Tek permütasyonlar = \(n \geq 2\) için \(n!/2\), aksi halde \(0\). Dairesel permütasyon = \((n-1)!\); bu, \(n\) nesnenin bir daire etrafındaki, dönmelerin aynı sayıldığı farklı dizilişlerinin sayısıdır.
Nasıl kullanılır?
Küme büyüklüğü \(n\) ile örneklem büyüklüğü \(r\) değerlerini girin, bir seçim türü belirleyin ve sonuç olarak yol sayısını görün. \(r\)'yi yok sayan modlar (faktöriyel, çift, tek, dairesel) yalnızca \(n\) değerini kullanır.
Örnek çözüm
10 yarışmacı arasından sıralama önemli olmaksızın 3 kazanan seçecek olalım: Kombinasyonlar türünü \(n = 10\), \(r = 3\) ile seçin. Sonuç $$C(10,3) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{6} = 120$$ olur. Sıralama önemli olsaydı (altın, gümüş, bronz), Permütasyonlar'a geçer ve $$P(10,3) = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$$ sonucunu elde ederdiniz.
Sık sorulan sorular
Ne zaman kombinasyon, ne zaman permütasyon kullanmalıyım? Seçim sırasının önemsiz olduğu durumlarda (örneğin bir komite seçiminde) kombinasyon, sıranın önemli olduğu durumlarda (sıralamalar, şifreler) permütasyon kullanın.
"Tekrarlı" ne anlama gelir? Bir öğeyi seçtikten sonra onu geri koyarsınız, böylece aynı öğe tekrar seçilebilir — tekrarlı örnekleme için kullanışlıdır.
Çok büyük sonuçlar neden hassasiyet kaybedebilir? Sayımlar faktöriyel hızda büyür ve kayan nokta sayılarının kesin aralığını aşabilir; çok büyük \(n\) ve \(r\) değerlerinde gösterilen tam sayıyı yaklaşık bir değer olarak kabul edin.
