Pascal üçgeni nedir?
Pascal üçgeni, her sayının hemen üstündeki iki sayının toplamına eşit olduğu üçgen biçimli bir sayı dizilimidir. Kenarlardaki tüm değerler 1'dir; içerideki sayılar ise bu temelden büyüyerek oluşur. Üçgendeki her değer bir binom katsayısına karşılık gelir; \(C(n, k)\) veya "n'nin k'lisi" şeklinde yazılır ve n elemanlı bir kümeden k eleman seçmenin kaç farklı yolu olduğunu sayar. Üçgen 0'dan başlar (0-indeksli): en tepedeki değer 0. satırdır = {1}, 1. satır = {1, 1}, 2. satır = {1, 2, 1} şeklinde devam eder.
Bu hesaplayıcı nasıl kullanılır?
Göster seçeneğinin altından bir mod seçin. Tek bir değeri hesaplamak için Tek Sayı'yı seçin: satır indeksi n ve sütun indeksi k değerlerini girin (her ikisi de 0'dan başlar ve k, 0 ile n arasında olmalıdır). Üçgenin tamamını oluşturmak için Satır(lar)'ı seçin ve Satır sayısı'nı girin — araç, 0. satırdan girdiğiniz değere kadar tüm satırları ve her satırın toplamını gösterir.
Formülün açıklaması
Kapalı formül $$C(n,k) = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$$ şeklindedir. Devasa faktöriyellerden kaçınmak için hesaplayıcı, \(i = 1..k\) için \((n-k+i)/i\) çarpımlarına dayanan çarpımsal biçimi kullanır; \(C(n,k) = C(n,n-k)\) simetrisi sayesinde döngü, k ile n-k değerlerinden küçük olanı üzerinden ilerler. Üçgenin kendisi ise yalnızca toplama işlemi gerektiren $$a(n,k) = a(n-1,k-1) + a(n-1,k)$$ yineleme bağıntısıyla kurulur.
Çözümlü örnek
n = 4, k = 2 için: $$C(4,2) = \frac{4!}{2!\cdot 2!} = \frac{24}{4} = 6$$ Bu sonuç, üçgenin 4. satırındaki {1, 4, 6, 4, 1} dizisinin üçüncü sayısıyla örtüşür. 4. satırın toplamı ise \(2^4 = 16\)'dır.
Kullanım alanları
Binom açılımı: \((x + y)^n\) ifadesinin katsayıları tam olarak n. satırdır. Örneğin, $$(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$$ Kombinasyonlar: \(C(n,k)\), n nesneden k tanesini seçmenin kaç yolu olduğunu verir. Olasılık: eşit olasılıklı ikili sonuçlarda n. satırın toplamı, toplam \(2^n\) sonuca eşittir ve \(C(n,k)/2^n\), tam olarak k başarı elde etme olasılığını verir — örneğin 3 yazı-tura atışında tam 1 yazı gelme olasılığı \(P = C(3,1)/2^3 = 3/8 = \%37{,}5\)'tir.
Sıkça sorulan sorular
Üçgen 0'dan mı başlıyor (0-indeksli)? Evet. Hem n satırı hem de k sütunu 0'dan başlar; dolayısıyla en tepedeki tek 1, 0. satır ve 0. sütundur.
k, n'den büyük olursa ne olur? Bu nokta üçgenin dışında kalır, bu nedenle değer 0 olur ve hesaplayıcı bir uyarı gösterir.
Her satır neden 2'nin bir kuvvetine eşittir? Çünkü \(k = 0..n\) için tüm \(C(n,k)\) değerlerinin toplamı \(2^n\)'e eşittir; bu aynı zamanda n elemanlı bir kümenin alt küme sayısıdır.
