パスカルの三角形とは？
パスカルの三角形は、各数がそのすぐ上にある2つの数の和になっている三角形状の数の並びです。両端はすべて1で、内側の数はそこから増えていきます。すべての項は二項係数に等しく、\(C(n, k)\)（または「nCk」「n個からk個を選ぶ」）と書き、n個の集合からk個を選ぶ場合の数を表します。三角形は0から数え始めます。最上段は0行目 = {1}、1行目 = {1, 1}、2行目 = {1, 2, 1}、と続きます。
この計算機の使い方
まず 表示 でモードを選びます。1つの数 を選ぶと特定の項を計算できます。行番号 n と列番号 k を入力してください（どちらも0から始まり、kは0からnまでの範囲）。行（複数） を選ぶと三角形全体を生成できます。行数 を入力すると、0行目から指定した値までのすべての行を、各行の合計とあわせて表示します。
公式の解説
閉じた形（公式）は $$C(n,k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$$ です。巨大な階乗を避けるため、この計算機では乗算による形 \(C(n,k) = \prod_{i=1}^{k} \frac{n-k+i}{i}\) の積を使います。対称性 \(C(n,k) = C(n,n-k)\) を利用して、kとn-kのうち小さい方でループを回します。三角形そのものは、漸化式 $$a(n,k) = a(n-1,k-1) + a(n-1,k)$$ で構築でき、これは足し算だけで済みます。
計算例
\(n = 4\)、\(k = 2\) のとき：$$C(4,2) = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{4} = 6$$ です。これは三角形の4行目 {1, 4, 6, 4, 1} の3番目の数と一致します。4行目の合計は \(2^4 = 16\) です。
活用例
二項展開：\((x + y)^n\) の係数は、そのままn行目の数になります。たとえば $$(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$$ です。組み合わせ：\(C(n,k)\) はn個からk個を選ぶ場合の数です。確率：2通りの結果が等確率で起こる場合、n行目の合計は全パターン数 \(2^n\) になり、\(C(n,k)/2^n\) はちょうどk回成功する確率を表します。たとえば「コインを3回投げて表がちょうど1回出る確率」は \(C(3,1)/2^3 = 3/8 = 37.5\%\) です。
よくある質問
三角形は0から数えますか？ はい。行nも列kも0から始まるので、最上段にある1つの「1」は0行目・0列目です。
kがnより大きい場合は？ その点は三角形の外側になるため、値は0となり、計算機が注意書きを表示します。
なぜ各行の合計は2のべき乗になるのですか？ \(k = 0..n\) についての \(C(n,k)\) の総和が \(2^n\) に等しいからです。これはn個の要素からなる集合の部分集合の総数とも一致します。
