Tam giác Pascal là gì?
Tam giác Pascal là một mảng số xếp theo hình tam giác, trong đó mỗi phần tử bằng tổng của hai số nằm ngay phía trên nó. Hai cạnh bên đều là số 1, còn các số bên trong được hình thành từ quy luật cộng này. Mỗi phần tử chính là một hệ số nhị thức, ký hiệu \(C(n, k)\) hay "n chọn k", cho biết số cách chọn k phần tử từ một tập hợp gồm n phần tử. Tam giác được đánh chỉ số bắt đầu từ 0: đỉnh trên cùng là hàng 0 = {1}, hàng 1 = {1, 1}, hàng 2 = {1, 2, 1}, và cứ tiếp tục như vậy.
Cách dùng máy tính này
Hãy chọn chế độ trong mục Hiển thị. Chọn Một số để tính một phần tử duy nhất: nhập chỉ số hàng n và chỉ số cột k (cả hai đều bắt đầu từ 0, với k nằm trong khoảng từ 0 đến n). Chọn Các hàng để tạo toàn bộ tam giác rồi nhập Số hàng — công cụ sẽ in ra mọi hàng từ hàng 0 cho đến giá trị bạn nhập, kèm theo tổng của từng hàng.
Giải thích công thức
Công thức dạng đóng là $$C(n,k) = \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$$ Để tránh phải tính những giai thừa quá lớn, máy tính sử dụng dạng nhân \(C(n,k)\) = tích của \((n-k+i)/i\) với \(i = 1..k\), đồng thời chỉ lặp qua giá trị nhỏ hơn giữa \(k\) và \(n-k\) nhờ tính đối xứng \(C(n,k) = C(n,n-k)\). Bản thân tam giác được dựng dựa trên công thức truy hồi $$a(n,k) = a(n-1,k-1) + a(n-1,k),\quad a(n,0)=a(n,n)=1$$ vốn chỉ cần phép cộng.
Ví dụ minh họa
Với \(n = 4\), \(k = 2\): $$C(4,2) = \dfrac{4!}{2!\cdot 2!} = \dfrac{24}{4} = 6$$ Kết quả này khớp với số thứ ba trong hàng 4 của tam giác {1, 4, 6, 4, 1}. Tổng của hàng 4 là \(2^4 = 16\).
Ứng dụng
Khai triển nhị thức: các hệ số trong khai triển \((x + y)^n\) chính là hàng n. Ví dụ, $$(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$$ Tổ hợp: \(C(n,k)\) là số cách chọn k vật từ n vật. Xác suất: với các kết quả nhị phân có khả năng xảy ra như nhau, tổng của hàng n bằng \(2^n\) tổng số kết quả, và \(C(n,k)/2^n\) là xác suất có đúng k lần thành công — ví dụ \(P(\text{đúng 1 mặt ngửa trong 3 lần tung}) = C(3,1)/2^3 = 3/8 = 37{,}5\%\).
Câu hỏi thường gặp
Tam giác có đánh chỉ số từ 0 không? Có. Cả hàng n lẫn cột k đều bắt đầu từ 0, nên số 1 duy nhất ở đỉnh chính là hàng 0, cột 0.
Nếu k lớn hơn n thì sao? Điểm đó nằm ngoài tam giác, nên giá trị bằng 0 và máy tính sẽ hiển thị ghi chú.
Vì sao tổng mỗi hàng luôn là một lũy thừa của 2? Vì tổng của tất cả \(C(n,k)\) với \(k = 0..n\) bằng \(2^n\), đây cũng đúng bằng tổng số tập con của một tập hợp gồm n phần tử.
