Dãy số Fibonacci là gì?
Dãy số Fibonacci là một chuỗi các số nguyên, trong đó mỗi số bằng tổng của hai số đứng ngay trước nó, bắt đầu từ 0 và 1: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, và cứ thế tiếp tục. Dãy số này xuất hiện khắp nơi trong toán học lẫn tự nhiên, từ những vỏ ốc xoắn ốc, đầu hoa hướng dương cho đến tỷ lệ vàng. Máy tính này có thể trả về một số Fibonacci \(F_n\) tại chỉ số n bất kỳ, hoặc tạo toàn bộ dãy số nằm giữa một chỉ số đầu và một chỉ số cuối.
Cách sử dụng máy tính
Hãy chọn chế độ trong ô Tạo. Chọn một số rồi nhập chỉ số n để nhận giá trị đơn lẻ \(F_n\) kèm theo bước truy hồi của nó. Chọn một dãy số rồi nhập n đầu và n cuối để liệt kê mọi số Fibonacci trong khoảng đó (bao gồm cả hai đầu mút). Chỉ số có thể dương hoặc âm; phạm vi hỗ trợ là từ -200 đến 200.
Giải thích công thức
Quy tắc cơ bản là công thức truy hồi $$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad F_0 = 0, \; F_1 = 1$$ Để cho kết quả chính xác với n lớn, công cụ này lặp bằng số nguyên có độ chính xác tùy ý thay vì dùng công thức Binet với số dấu phẩy động — vốn mất độ chính xác khi vượt quá khoảng n = 71. Chỉ số âm tuân theo quy tắc negafibonacci \(F_{-n} = (-1)^{n+1} F_n\), nên \(F_{-1} = 1\), \(F_{-2} = -1\), \(F_{-3} = 2\), \(F_{-4} = -3\), và cứ thế.
Ví dụ minh họa
Để tìm \(F_{15}\), ta lặp dãy số đến chỉ số 15: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610. Vậy \(F_{15} = 610\), đúng bằng $$F_{14} + F_{13} = 377 + 233 = 610.$$
Câu hỏi thường gặp
Máy tính có hỗ trợ chỉ số âm không? Có. Công cụ dùng phần mở rộng negafibonacci, cho ra các kết quả có dấu xen kẽ như \(F_{-6} = -8\).
n có thể lớn đến đâu? Phạm vi hỗ trợ là từ -200 đến 200. \(F_{200}\) có 42 chữ số và được tính chính xác bằng số nguyên có độ chính xác tùy ý.
Tại sao không dùng luôn công thức Binet? Dạng đóng của Binet \(F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}\) rất tao nhã để trình bày, nhưng việc làm tròn ở độ chính xác kép khiến nó kém tin cậy với n lớn, nên kết quả được tính bằng phép lặp số nguyên chính xác.
