¿Qué es la sucesión de Fibonacci?
La sucesión de Fibonacci es una serie de números enteros en la que cada término es la suma de los dos anteriores, partiendo de 0 y 1: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. Aparece por todas partes en las matemáticas y en la naturaleza: desde las espirales de las conchas y la disposición de las semillas del girasol hasta el número áureo. Esta calculadora puede devolver un único número de Fibonacci \(F_n\) para cualquier índice \(n\), o generar la sucesión completa entre un índice inicial y uno final.
Cómo usar esta calculadora
Elige un modo en el desplegable Generar. Selecciona un número e introduce un índice \(n\) para obtener el valor único \(F_n\) junto con su paso de recurrencia. Selecciona una sucesión e introduce un \(n\) inicial y un \(n\) final para listar todos los números de Fibonacci dentro de ese intervalo (ambos extremos incluidos). Los índices pueden ser positivos o negativos; el rango admitido va de -200 a 200.
La fórmula, explicada
La regla que la define es la recurrencia $$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad F_0 = 0, \; F_1 = 1$$ Para obtener resultados exactos con valores grandes de \(n\), esta herramienta itera usando enteros de precisión arbitraria en lugar de la fórmula de Binet en coma flotante, que pierde exactitud a partir de \(n = 71\) aproximadamente. Los índices negativos siguen la regla negafibonacci \(F_{-n} = (-1)^{n+1} F_n\), de modo que \(F_{-1} = 1\), \(F_{-2} = -1\), \(F_{-3} = 2\), \(F_{-4} = -3\), y así sucesivamente.
Ejemplo resuelto
Para hallar \(F_{15}\), itera la sucesión hasta el índice 15: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610. Por tanto, $$F_{15} = 610$$ que coincide con $$F_{14} + F_{13} = 377 + 233 = 610$$
Preguntas frecuentes
¿Admite índices negativos? Sí. Utiliza la extensión negafibonacci, que produce resultados con signo alternante, como \(F_{-6} = -8\).
¿Hasta qué valor puede llegar n? El rango admitido es de -200 a 200. \(F_{200}\) tiene 42 dígitos y se calcula de forma exacta con enteros de precisión arbitraria.
¿Por qué no usar simplemente la fórmula de Binet? La forma cerrada de Binet es elegante para mostrarla, pero el redondeo en doble precisión la hace poco fiable con valores grandes de \(n\), así que para el resultado se emplea la iteración exacta con enteros.
