Fibonacci dizisi nedir?
Fibonacci dizisi, her sayının kendinden önceki iki sayının toplamı olduğu bir tam sayı dizisidir ve 0 ile 1'den başlar: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ve böyle devam eder. Sarmal deniz kabuklarından ayçiçeği çekirdeklerinin dizilimine, altın orandan matematiğin pek çok alanına kadar doğanın her yerinde karşımıza çıkar. Bu hesaplama aracı, herhangi bir n indisi için tekil bir Fibonacci sayısı \(F_n\) verebilir veya bir başlangıç ile bitiş indisi arasındaki tüm diziyi oluşturabilir.
Bu araç nasıl kullanılır?
Oluştur menüsünden bir mod seçin. tek Sayı seçeneğini işaretleyip bir n indisi girerseniz, tekil \(F_n\) değerini ve onu oluşturan yineleme adımını birlikte görürsünüz. bir Dizi seçeneğini işaretleyip Başlangıç n ve Bitiş n değerlerini girerseniz, bu aralıktaki (iki uç dâhil) tüm Fibonacci sayıları listelenir. İndisler pozitif veya negatif olabilir; desteklenen aralık -200 ile 200 arasıdır.
Formülün açıklaması
Diziyi tanımlayan kural, \(F_0 = 0\) ve \(F_1 = 1\) başlangıç değerleriyle birlikte aşağıdaki yineleme bağıntısıdır:
$$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad F_0 = 0, \; F_1 = 1$$
Büyük n değerlerinde kesin sonuç almak için bu araç, yaklaşık n = 71'den sonra hassasiyetini yitiren kayan noktalı Binet formülü yerine keyfi hassasiyetli tam sayılarla adım adım hesaplama yapar. Negatif indisler ise negafibonacci kuralına uyar: \(F_{-n} = (-1)^{n+1} F_n\). Buna göre \(F_{-1} = 1\), \(F_{-2} = -1\), \(F_{-3} = 2\), \(F_{-4} = -3\) ve böyle sürer.
Örnek hesaplama
\(F_{15}\) değerini bulmak için diziyi 15. indise kadar yazalım: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610. Dolayısıyla \(F_{15} = 610\) olur ve bu da
$$F_{14} + F_{13} = 377 + 233 = 610$$
ile aynıdır.
Sıkça Sorulan Sorular
Negatif indisleri destekliyor mu? Evet. Negafibonacci genişlemesini kullanır ve \(F_{-6} = -8\) gibi işareti dönüşümlü sonuçlar üretir.
n en fazla kaç olabilir? Desteklenen aralık -200 ile 200 arasıdır. \(F_{200}\) sayısı 42 basamaklıdır ve keyfi hassasiyetli tam sayılarla tam olarak hesaplanır.
Neden doğrudan Binet formülü kullanılmıyor? Binet'nin kapalı formu \(F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}\) gösterim için zarif olsa da çift hassasiyetli yuvarlama, büyük n değerlerinde sonucu güvenilmez kılar; bu yüzden cevap için kesin tam sayı yinelemesi tercih edilir.
