Doğrusal (aritmetik) sayı dizisi nedir?
Doğrusal sayı dizisi — yaygın adıyla aritmetik dizi — her terimin bir önceki terime göre sabit bir miktar (ortak fark) kadar arttığı ya da azaldığı sayı listesidir. Terimler düzenli bir biçimde değiştiği için, tüm diziyi tek tek toplamak yerine zarif tek bir formülle hesaplayabilirsiniz. Bu hesaplama aracı söz konusu toplamı saniyeler içinde bulur.
Hesaplama aracı nasıl kullanılır?
Üç değer girmeniz yeterli: ilk terim a₁, son terim aₙ ve toplam terim sayısı n. Hesapla düğmesine bastığınızda dizinin toplamını, terim sayısını ve ortalama terimi göreceksiniz. Ortak farkı bilmenize gerek yok; yalnızca uç değerleri ve kaç terim olduğunu girmeniz yeterlidir.
Formülün açıklaması
Bir doğrusal dizinin toplamı şu şekilde bulunur:
$$S = \frac{n \times (a_1 + a_n)}{2}$$
Mantık oldukça basittir ve ünlü olarak Gauss'a atfedilir: ilk terimi son terimle, ikinci terimi sondan ikinci terimle eşleştirin ve bu böyle devam eder. Her çift aynı değeri verir \((a_1 + a_n)\). \(n\) terim için elinizde \(n/2\) tane böyle çift olur ve bu da \(S = n(a_1 + a_n)/2\) formülünü ortaya çıkarır. Başka bir deyişle toplam, terim sayısının ortalama terimle çarpımına eşittir.
Çözümlü örnek
1'den 100'e kadar olan tam sayıları toplayalım. Burada \(a_1 = 1\), \(a_n = 100\) ve \(n = 100\). Buna göre $$S = \frac{100 \times (1 + 100)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 5050.$$ Ortalama terim \((1 + 100)/2 = 50{,}5\) olur ve \(100 \times 50{,}5 = 5050\) — tam olarak aynı sonuç.
Sıkça Sorulan Sorular
Ortak farkı bilmem gerekiyor mu? Hayır. İlk terimi, son terimi ve kaç terim olduğunu biliyorsanız formül her aritmetik dizi için çalışır.
Terimler negatif ya da ondalıklı olabilir mi? Evet. Formül negatif sayılarla ve ondalıklı terimlerle de çalışır; bunları doğrudan girebilirsiniz.
Dizi azalıyorsa ne yapmalıyım? Sorun değil — büyük değeri a₁, küçük değeri aₙ olarak girin. Toplam yine doğru çıkacaktır.
