Sayı dizisi nedir?
Sayı dizisi, belirli bir kurala göre sıralanmış bir sayılar listesidir. En sık karşılaşılan iki tür aritmetik diziler ve geometrik diziler'dir. Aritmetik dizilerde her terim sabit bir miktar (ortak fark, \(d\)) kadar artar; geometrik dizilerde ise her terim sabit bir çarpanla (ortak oran, \(r\)) çarpılır. Bu hesaplama aracı, seçtiğiniz herhangi bir terimin değerini (n'inci terim) ve o sıraya kadar olan tüm terimlerin toplamını birlikte bulur.
Hesaplama aracı nasıl kullanılır?
Önce dizi türünü seçin, ardından üç değer girin: ilk terim (\(a_1\)), ortak fark ya da oran (aritmetik için \(d\), geometrik için \(r\)) ve değerini öğrenmek istediğiniz terim sırası \(n\). Hesapla'ya bastığınızda n'inci terim \(a_n\) ile ilk \(n\) terimin kısmi toplamı \(S_n\) ekranda görünür.
Formüllerin açıklaması
Aritmetik bir dizide her adımda \(d\) eklenir; dolayısıyla n'inci terim $$a_n = a_1 + (n-1)d$$ ilk \(n\) terimin toplamı ise $$S_n = \frac{n}{2}\left(2a_1 + (n-1)d\right)$$ olur. Bu formül aslında ilk ve son terimin ortalamasını alıp terim sayısıyla çarpmaktan ibarettir.
Geometrik bir dizide her adımda \(r\) ile çarpılır; bu da $$a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$$ sonucunu verir. \(r \neq 1\) olduğunda toplam $$S_n = a_1 \cdot \frac{r^{\,n} - 1}{r - 1}$$ şeklindedir; eğer \(r = 1\) ise toplam yalnızca \(a_1 \cdot n\) olur.
Çözümlü örnek
\(a_1 = 2\), \(d = 3\) ve \(n = 10\) olan bir aritmetik diziyi ele alalım. 10. terim $$2 + (10-1)\cdot 3 = 2 + 27 = 29$$ olur. İlk 10 terimin toplamı ise $$\frac{10}{2}\left(2\cdot 2 + 9\cdot 3\right) = 5 \cdot (4 + 27) = 5 \cdot 31 = 155$$ sonucunu verir.
Sık sorulan sorular
Ortak fark ya da oran negatif olabilir mi? Evet. Negatif bir \(d\), aritmetik dizinin azalmasına yol açar; negatif bir \(r\) ise geometrik dizinin işaretinin sırayla değişmesine (artı–eksi) neden olur.
Oran tam olarak 1 ise ne olur? Geometrik toplam \(a_1 \times n\)'e indirgenir ve hesaplama aracı bunu otomatik olarak hesaba katar.
n mutlaka tam sayı mı olmalı? Evet — terim sırası \(n\) pozitif bir tam sayıdır (1, 2, 3, …).
