数列とは？
数列とは、一定の規則に従って順番に並んだ数のリストのことです。最もよく使われるのが 等差数列 と 等比数列 の2種類です。等差数列は、各項が一定の値（公差 \(d\)）ずつ増えていく数列で、等比数列は各項に一定の倍率（公比 \(r\)）をかけていく数列です。この計算機では、指定した位置の項（第n項）の値と、その位置までのすべての項の和の両方を求めることができます。
計算機の使い方
まず数列の種類を選び、次に3つの値を入力します。初項（\(a_1\)）、公差または公比（等差数列なら \(d\)、等比数列なら \(r\)）、そして求めたい項の位置 \(n\) です。「計算」を押すと、第n項 \(a_n\) と最初の \(n\) 項の部分和 \(S_n\) が表示されます。
公式の解説
等差数列では、1項進むごとに \(d\) を足していくので、第n項は
$$a_n = a_1 + (n-1)d$$となります。また、最初の \(n\) 項の和は
$$S_n = \frac{n}{2}\left(2a_1 + (n-1)d\right)$$です。これは「初項と末項の平均に項数をかける」という考え方を表しています。
等比数列では、1項進むごとに \(r\) をかけていくので、第n項は
$$a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$$となります。和は \(r \neq 1\) のとき
$$S_n = a_1 \cdot \frac{r^{\,n} - 1}{r - 1}$$で、\(r = 1\) のときは単純に \(a_1 \cdot n\) になります。
具体例
初項 \(a_1 = 2\)、公差 \(d = 3\)、\(n = 10\) の等差数列を考えてみましょう。第10項は
$$2 + (10-1)\cdot 3 = 2 + 27 = 29$$です。最初の10項の和は
$$\frac{10}{2}\left(2\cdot 2 + 9\cdot 3\right) = 5\cdot(4 + 27) = 5\cdot 31 = 155$$となります。
よくある質問
公差や公比はマイナスでもよいですか？ はい。公差 \(d\) がマイナスなら等差数列は減少していき、公比 \(r\) がマイナスなら等比数列は符号が交互に入れ替わります。
公比がちょうど 1 のときはどうなりますか？ 等比数列の和は \(a_1 \times n\) に簡略化されますが、この計算機が自動的に処理します。
n は整数でなければいけませんか？ はい。項の位置 \(n\) は正の整数（1, 2, 3, …）です。
