線形数列（等差数列）とは？
「線形数列」とは、一般には等差数列と呼ばれる数の並びのことです。隣り合う項が、常に同じ一定の値（公差）だけ増えたり減ったりするのが特徴です。各項が均等に変化していくため、すべての項を一つずつ足し合わせなくても、たった一つのシンプルな公式で合計を求められます。この計算ツールを使えば、その総和を瞬時に算出できます。
このツールの使い方
入力するのは次の3つの値だけです。初項 a₁、末項 aₙ、そして項数 n。計算ボタンを押すと、数列の和・項数・項の平均値が表示されます。公差を知っている必要はありません。両端の値と項の個数さえわかれば計算できます。
公式のしくみ
等差数列の和は次の式で求められます。
$$S = \frac{n}{2}\left(a_1 + a_n\right)$$考え方はとてもシンプルで、ガウスの逸話として有名です。最初の項と最後の項、2番目と後ろから2番目……というように両端からペアを作っていくと、どのペアも合計が同じ値（\(a_1 + a_n\)）になります。項が \(n\) 個あれば、こうしたペアは \(n/2\) 組できるので、和は \(S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\) となります。言い換えれば、合計は「項数 × 項の平均値」に等しいのです。
計算例
1から100までの整数をすべて足してみましょう。ここでは \(a_1 = 1\)、\(a_n = 100\)、\(n = 100\) です。よって $$S = \frac{100}{2}\left(1 + 100\right) = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$$ となります。項の平均値は \((1 + 100)/2 = 50.5\) で、\(100 \times 50.5 = 5050\) と、ぴったり一致します。
よくある質問
公差は必要ですか？ いいえ、必要ありません。初項・末項・項数の3つさえわかっていれば、どんな等差数列でもこの公式で計算できます。
項が負の数や小数でも大丈夫ですか？ 大丈夫です。この公式は負の数や小数の項にも対応しているので、そのまま入力してください。
数列が減少していく場合は？ 問題ありません。大きいほうの値を \(a_1\) に、小さいほうの値を \(a_n\) に入力してください。それでも正しい合計が得られます。
