ما هي المتتالية العددية الخطية (الحسابية)؟
المتتالية العددية الخطية — والأشهر تسميتها بالمتتالية الحسابية — هي سلسلة من الأعداد يزيد فيها كل حدّ (أو ينقص) بمقدار ثابت يُسمى أساس المتتالية أو الفرق المشترك. ولأن الحدود تتزايد بانتظام، يمكن إيجاد مجموع المتتالية كاملة بقانون واحد أنيق بدلًا من جمع كل حدّ يدويًا. تقوم هذه الحاسبة بإيجاد هذا المجموع في لحظة.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل ثلاث قيم: الحد الأول a₁، والحد الأخير aₙ، وعدد الحدود الكلي n. اضغط على زر الحساب لتحصل على مجموع المتتالية، وعدد الحدود، ومتوسط الحد. لست بحاجة إلى معرفة الفرق المشترك — يكفي طرفا المتتالية وعدد حدودها.
شرح القانون
مجموع المتتالية الخطية يُعطى بالعلاقة:
$$S = \frac{n \times (a_1 + a_n)}{2}$$
الفكرة بسيطة وتُنسب شهرتها إلى عالم الرياضيات غاوس: اقرن الحد الأول بالحد الأخير، ثم الثاني بما قبل الأخير، وهكذا. مجموع كل زوج يساوي القيمة نفسها \((a_1 + a_n)\). وبما أن لديك \(n\) من الحدود فإنك تحصل على \(n/2\) من هذه الأزواج، ومن ثم \(S = n(a_1 + a_n)/2\). وبصيغة أخرى، المجموع يساوي عدد الحدود مضروبًا في متوسط الحد.
مثال محلول
لنجمع الأعداد الصحيحة من 1 إلى 100. هنا \(a_1 = 1\)، و\(a_n = 100\)، و\(n = 100\). إذًا $$S = 100 \times \frac{(1 + 100)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 5050.$$ ومتوسط الحد هو \((1 + 100)/2 = 50.5\)، و\(100 \times 50.5 = 5050\) — وهي تطابق تامة.
الأسئلة الشائعة
هل أحتاج إلى معرفة الفرق المشترك؟ لا. ما دمت تعرف الحد الأول والحد الأخير وعدد الحدود، فإن القانون يصلح لأي متتالية حسابية.
هل يمكن أن تكون الحدود سالبة أو عشرية؟ نعم. يتعامل القانون مع الأعداد السالبة والحدود العشرية؛ ما عليك سوى إدخالها مباشرة.
ماذا لو كانت المتتالية متناقصة؟ لا مشكلة في ذلك — أدخل القيمة الأكبر بوصفها a₁ والقيمة الأصغر بوصفها aₙ، وسيبقى المجموع صحيحًا.
