ما هو قانون تغيير الأساس؟
معظم الآلات الحاسبة لا توفّر سوى زرّي اللوغاريتم الطبيعي (ln) واللوغاريتم العشري ذي الأساس 10 (log). وهنا يأتي دور قانون تغيير الأساس الذي يتيح لك حساب اللوغاريتم لأي أساس كان، وذلك بإعادة كتابته بدلالة هذين اللوغاريتمين المألوفين. وصيغة القانون هي \(\log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}\)، حيث x هو العدد الذي نأخذ لوغاريتمه وb هو الأساس. ويمكنك بالقدر نفسه استخدام لوغاريتمات الأساس 10: \(\log_b(x) = \frac{\log(x)}{\log(b)}\) — فالنسبة تعطي النتيجة ذاتها.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل العدد (x) — وهو القيمة الواقعة داخل اللوغاريتم — ثم الأساس (b). اضغط على زر الحساب لتحصل فوراً على قيمة \(\log_b(x)\)، إضافةً إلى القيم الوسيطة \(\ln(x)\) و\(\ln(b)\) و\(\log_{10}(x)\) حتى ترى بوضوح كيف تكوّنت النتيجة. لاحظ أن العدد x يجب أن يكون موجباً، وأن الأساس b يجب أن يكون موجباً ولا يساوي 1.
شرح القانون
يجيب اللوغاريتم عن السؤال التالي: «إلى أي أُسٍّ يجب أن أرفع b لأحصل على x؟». وبما أن أُسس اللوغاريتمات يربط بينها نسبة ثابتة، فإن قسمة \(\ln(x)\) على \(\ln(b)\) تلغي أساس اللوغاريتم الطبيعي تماماً، فلا يبقى سوى اللوغاريتم الصافي للأساس b. ولهذا السبب يصحّ القانون مع أي أساس متّسق في كلٍّ من البسط والمقام.
مثال محلول
أوجد \(\log_2(8)\). باستخدام اللوغاريتم الطبيعي: \(\ln(8) \approx 2.079442\) و\(\ln(2) \approx 0.693147\). وبقسمة الأولى على الثانية: $$\frac{2.079442}{0.693147} = 3.$$ وهذا صحيح لأن \(2^3 = 8\).
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن يكون الأساس 10 أو e؟ نعم. فمع الأساس 10 تحصل على اللوغاريتم العشري (الشائع)، ومع الأساس \(e\) (\(\approx 2.71828\)) تحصل على اللوغاريتم الطبيعي.
لماذا يجب أن يكون x موجباً؟ لأن لوغاريتم الصفر أو الأعداد السالبة غير معرَّف في مجموعة الأعداد الحقيقية.
لماذا لا يجوز أن يكون الأساس 1؟ لأن \(\ln(1) = 0\)، وهذا يجعل المقام صفراً والنتيجة غير معرَّفة.
