Résultats

log_b(x)

logarithme de x dans la base b indiquée

ln(x)	2,079442
ln(b)	0,693147
log₁₀(x)	0,90309

Qu'est-ce que la formule de changement de base ?

La plupart des calculatrices ne proposent que deux touches : le logarithme népérien (ln) et le logarithme décimal (log). La formule de changement de base permet de calculer un logarithme dans n'importe quelle base en le réécrivant à l'aide de ces logarithmes familiers. La formule s'écrit $\log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}$, où x est le nombre dont on prend le logarithme et b la base. On pourrait tout aussi bien utiliser les logarithmes décimaux : $\log_b(x) = \frac{\log(x)}{\log(b)}$ — le rapport donne exactement le même résultat.

Comment utiliser cette calculatrice

Saisissez le nombre (x) — la valeur placée à l'intérieur du logarithme — puis la base (b). Lancez le calcul et vous obtenez immédiatement $\log_b(x)$, accompagné des valeurs intermédiaires $\ln(x)$, $\ln(b)$ et $\log_{10}(x)$, afin de voir précisément comment le résultat a été obtenu. Attention : x doit être strictement positif, et la base b doit être positive et différente de 1.

La formule expliquée

Un logarithme répond à la question suivante : « à quelle puissance dois-je élever b pour obtenir x ? » Comme les différentes bases d'un logarithme sont reliées par un rapport constant, diviser $\ln(x)$ par $\ln(b)$ élimine entièrement la base du logarithme népérien, ne laissant que le logarithme pur en base b. C'est la raison pour laquelle la formule fonctionne avec n'importe quelle base, du moment qu'elle est identique au numérateur et au dénominateur.

$$\log_{\text{Base }b}\!\left(\text{Number }x\right) = \frac{\ln\!\left(\text{Number }x\right)}{\ln\!\left(\text{Base }b\right)}$$

Schéma montrant le logarithme en base b de x réécrit en ln(x) divisé par ln(b) — La formule de changement de base réécrit $\log_b(x)$ comme le rapport $\ln(x)/\ln(b)$.

Exemple détaillé

Cherchons $\log_2(8)$. Avec les logarithmes népériens : $\ln(8) \approx 2{,}079442$ et $\ln(2) \approx 0{,}693147$. La division donne $$\frac{2{,}079442}{0{,}693147} = 3.$$ Cela se vérifie facilement, puisque $2^3 = 8$.

Questions fréquentes

La base peut-elle valoir 10 ou e ? Oui. Avec la base 10, on retrouve le logarithme décimal ; avec la base e ($\approx 2{,}71828$), on obtient le logarithme népérien.

Pourquoi x doit-il être positif ? Le logarithme de zéro ou d'un nombre négatif n'est pas défini dans l'ensemble des nombres réels.

Pourquoi la base ne peut-elle pas être égale à 1 ? Parce que $\ln(1) = 0$, ce qui annulerait le dénominateur et rendrait le résultat indéfini.

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