Qu'est-ce que la formule de changement de base ?
La plupart des calculatrices et des bibliothèques de programmation ne proposent que deux fonctions logarithmiques : le logarithme népérien (ln, base e) et le logarithme décimal (log, base 10). La formule de changement de base permet de calculer un logarithme dans n'importe quelle base en divisant simplement deux logarithmes dont vous disposez déjà. Elle énonce que \(\log_b(x)\) est égal à \(\ln(x)\) divisé par \(\ln(b)\). C'est précisément ce que fait ce calculateur : saisissez la valeur x et la base b, et il vous renvoie \(\log_b(x)\).
$$\log_{\text{Base }b} \text{Value }x = \frac{\ln \text{Value }x}{\ln \text{Base }b}$$Comment utiliser ce calculateur
Indiquez le nombre dont vous souhaitez obtenir le logarithme dans le champ Valeur (x), puis renseignez la Base (b). Par exemple, pour trouver le logarithme en base 2 de 8, posez \(x = 8\) et \(b = 2\). L'outil affiche également les valeurs intermédiaires \(\ln(x)\) et \(\ln(b)\), afin que vous puissiez suivre le calcul étape par étape. La valeur x doit être strictement positive, et la base doit être positive et différente de 1.
La formule expliquée
Un logarithme répond à la question suivante : « à quelle puissance dois-je élever b pour obtenir x ? » L'identité du changement de base fonctionne parce que les logarithmes exprimés dans des bases différentes sont proportionnels entre eux. En divisant \(\ln(x)\) par \(\ln(b)\), on élimine le facteur d'échelle lié à la base e et il ne reste que l'exposant exprimé en base b. On pourrait utiliser n'importe quelle base, du moment qu'elle est identique au numérateur et au dénominateur : le logarithme népérien est simplement le choix le plus pratique.
Exemple concret
Calculons \(\log_2(8)\). À l'aide des logarithmes népériens : \(\ln(8) \approx 2{,}079442\) et \(\ln(2) \approx 0{,}693147\). La division donne $$\frac{2{,}079442}{0{,}693147} \approx 3.$$ Ce résultat est logique, car \(2^3 = 8\).
Foire aux questions
Pourquoi la base ne peut-elle pas être égale à 1 ? Parce que le logarithme en base 1 n'est pas défini : élever 1 à n'importe quelle puissance donne toujours 1, il n'existe donc aucun exposant unique. Par ailleurs, diviser par \(\ln(1) = 0\) reviendrait à une division par zéro.
x peut-il être négatif ou nul ? Non. Le logarithme de zéro ou d'un nombre négatif n'est pas défini dans l'ensemble des nombres réels.
Est-ce important d'utiliser ln plutôt que log10 ? Non. Tant que vous employez la même base au numérateur et au dénominateur, le résultat est rigoureusement identique.
