什麼是換底公式？
大多數計算機與程式語言的函式庫只內建兩種對數函數：自然對數（ln，以 e 為底）與常用對數（log，以 10 為底）。換底公式讓你能夠借助這兩個現成的對數，計算任意底數的對數值——只要相除即可。公式指出：\(\log_b(x)\) 等於 \(\ln(x)\) 除以 \(\ln(b)\)。這個計算器做的正是這件事——輸入真數 \(x\) 與底數 \(b\)，就會回傳 \(\log_b(x)\) 的結果。
$$\log_{\text{Base }b} \text{Value }x = \frac{\ln \text{Value }x}{\ln \text{Base }b}$$如何使用本計算器
在真數（x）欄位輸入你要取對數的數字，接著在底數（b）欄位填入底數。舉例來說，若要求以 2 為底 8 的對數，就設定 \(x = 8\)、\(b = 2\)。本工具同時會顯示中間過程的 \(\ln(x)\) 與 \(\ln(b)\)，方便你跟著驗算。請注意：真數 \(x\) 必須為正數，底數則必須為正數且不等於 1。
公式原理說明
對數要回答的問題是：「底數 \(b\) 要取幾次方才會得到 \(x\)？」換底恆等式之所以成立，是因為不同底數的對數彼此成正比。把 \(\ln(x)\) 除以 \(\ln(b)\)，恰好可以抵銷以 e 為底所產生的比例因子，留下的就是以 \(b\) 為底的指數。事實上，分子與分母只要使用相同的底數即可，並不限定哪一種——選用自然對數只是因為最方便。
範例演算
求 \(\log_2(8)\)。以自然對數計算：\(\ln(8) \approx 2.079442\)，\(\ln(2) \approx 0.693147\)。兩者相除得 $$2.079442 / 0.693147 \approx 3$$ 這個結果合理，因為 \(2^3 = 8\)。
常見問題
為什麼底數不能是 1？因為以 1 為底的對數沒有定義——1 不論取幾次方都還是 1，所以找不到唯一的指數。同時，除以 \(\ln(1) = 0\) 也會造成除以零的錯誤。
x 可以是負數或零嗎？不行。在實數範圍內，零或負數的對數沒有定義。
用 ln 還是 log10 會影響結果嗎？不會。只要分子與分母採用相同的底數，算出來的結果完全一致。
